Absolutní hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice označuje pojem absolutní hodnota čísla nebo vektoru nezáporné reálné číslo, které lze chápat jako jeho velikost, vzdálenost od nuly a u vektoru jako jeho délku.

Absolutní hodnota reálných čísel[editovat | editovat zdroj]

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Absolutní hodnota reálného čísla a je definována následovně:

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{pokud }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{pokud } a < 0 \end{cases}

Znamená vlastně hodnotu čísla bez znaménka. Například 3 je absolutní hodnotou jak čísla 3, tak čísla −3. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0. Geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla je vzdálenost obrazu čísla na reálné ose od počátku - obrazu nuly.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota má následující vlastnosti:

  1. |a| \ge 0
  2. |a| = 0 \Leftrightarrow a = 0
  3. \ |ab| = |a|.|b|
  4. \bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|} (pokud b ≠ 0)
  5. |a+b| \le |a| + |b| (trojúhelníková nerovnost)
  6. \ |a-b| \ge \Big||a| -|b|\Big|
  7. \left| a \right| = \sqrt{a^2}
  8. \ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b
  9. \ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a

Poslední dvě vlastnosti se často používají pro řešení nerovnic, například:

 \ |x - 3| \le 9
 \ -9 \le x - 3 \le 9
 \ -6 \le x \le 12

Pro reálná čísla je funkce

\ f(x) = |x|

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Absolutní hodnota není (ve svém maximálním definičním oboru) prostá funkce, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

Absolutní hodnota komplexních čísel[editovat | editovat zdroj]

Pro komplexní číslo \ z = a + bi definujeme absolutní hodnotu \ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z z^*} (viz odmocnina a komplexně sdružené číslo). Tato definice splňuje vlastnosti 1 – 6 uvedené výše. Pokud z znázorníme jako bod Gaussovy roviny, |z| značí jeho vzdálenost od počátku (nuly).

Absolutní hodnota kvaterninonů[editovat | editovat zdroj]

Pro kvaternion h lze definovat jeho absolutní hodnotu neboli normu jako |h| = \sqrt{h h^*}.

Kvaterninon v algebraickém tvaru h=a+bi+cj+dk má normu |h| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.

Absolutní hodnota (norma) vektoru[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota (častěji norma) nebo délka vektoru z trojrozměrného euklidovského prostoru \mbox{x}=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 je dána výrazem \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 +  x_3^2}.

Pomocí souřadnic vektoru \mbox{x} \in \mathbb{C}^n v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem

\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}.

Pomocí skalárního součinu lze normu přirozeně obecně definovat jako \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{\mbox{x} \cdot \mbox{x}}

Pro normu vektoru se někdy používá spíše označení ||x||, aby se zdůraznilo, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru V zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

pro všechny x,y \in V, \lambda \in \mathbb{C}