Absolutní hodnota

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

V matematice označuje pojem absolutní hodnota čísla nebo vektoru nezáporné reálné číslo, které lze chápat jako jeho velikost, vzdálenost od nuly a u vektoru jako jeho délku.

Absolutní hodnota reálných čísel

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Absolutní hodnota reálného čísla a je definována následovně:

$|a| = \begin{cases} a, & \mbox{pokud } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{pokud } a < 0 \end{cases}$

Znamená vlastně hodnotu čísla bez znaménka. Například 3 je absolutní hodnotou jak čísla 3, tak čísla −3. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0. Geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla je vzdálenost obrazu čísla na reálné ose od počátku - obrazu nuly.

Vlastnosti

Absolutní hodnota má následující vlastnosti:

1. $|a| \ge 0$
2. $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
3. $\ |ab| = |a|.|b|$
4. $\bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|}$ (pokud b ≠ 0)
5. $|a+b| \le |a| + |b|$ (trojúhelníková nerovnost)
6. $\ |a-b| \ge \Big||a| -|b|\Big|$
7. $\left| a \right| = \sqrt{a^2}$
8. $\ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b$
9. $\ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a$

Poslední dvě vlastnosti se často používají pro řešení nerovnic, například:

$\ |x - 3| \le 9$

$\ -9 \le x - 3 \le 9$

$\ -6 \le x \le 12$

Pro reálná čísla je funkce

$\ f(x) = |x|$

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Absolutní hodnota není (ve svém maximálním definičním oboru) prostá funkce, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

Absolutní hodnota komplexních čísel

Pro komplexní číslo $\ z = a + bi$ definujeme absolutní hodnotu $\ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z z^*}$ (viz odmocnina a komplexně sdružené číslo). Tato definice splňuje vlastnosti 1 – 6 uvedené výše. Pokud z znázorníme jako bod Gaussovy roviny, |z| značí jeho vzdálenost od počátku (nuly).

Absolutní hodnota kvaterninonů

Pro kvaternion h lze definovat jeho absolutní hodnotu neboli normu jako $|h| = \sqrt{h h^*}.$

Kvaterninon v algebraickém tvaru h=a+bi+cj+dk má normu $|h| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.$

Absolutní hodnota (norma) vektoru

Absolutní hodnota (častěji norma) nebo délka vektoru z trojrozměrného euklidovského prostoru $\mbox{x}=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3$ je dána výrazem $\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}.$

Pomocí souřadnic vektoru $\mbox{x} \in \mathbb{C}^n$ v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem

$\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}.$

Pomocí skalárního součinu lze normu přirozeně obecně definovat jako $\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{\mbox{x} \cdot \mbox{x}}$

Pro normu vektoru se někdy používá spíše označení ||x||, aby se zdůraznilo, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru $V$ zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

• $|x| \ge 0$ (nezápornost),
• $|x| = 0 \leftrightarrow x=0$ (definitnost),
• $| \lambda x | = | \lambda | . | x |$ (homogenita),
• $|x+y| \le |x| + |y|$ (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny $x,y \in V, \lambda \in \mathbb{C}$