Absolutní hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Graf funkce absolutní hodnoty na reálné ose

V matematice označuje pojem absolutní hodnota reálného čísla x (zapsaná jako |x|) hodnotu x bez znaménka. Absolutní hodnota tak určuje vzdálenost bodu na číselné ose od počátku (0). Například 3 je absolutní hodnotou jak čísla 3, tak čísla −3. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0.

Neboli: $|x| = \begin{cases} \ \;\, x &\mathrm{pro}\ x \ge 0\\ -x &\mathrm{pro}\ x < 0 \end{cases}$

[editovat] Absolutní hodnota reálných čísel

Absolutní hodnota může být definována následovně: Pro každé reálné číslo a je absolutní hodnota tohoto čísla rovna

$|a| := \begin{cases} a, & \mbox{pokud } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{pokud } a < 0 \end{cases}$

Absolutní hodnota může být též vyjádřena jako vzdálenost čísla od nuly.

[editovat] Vlastnosti

Absolutní hodnota má následující vlastnosti:

$|a| \ge 0$
$|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
$\ |ab| = |a|.|b|$
$\bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|}$ (pokud b ≠ 0)
$|a+b| \le |a| + |b|$ (trojúhelníková nerovnost)
$\ |a-b| \ge \Big||a| -|b|\Big|$
$\left| a \right| = \sqrt{a^2}$
$\ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b$
$\ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a$

Poslední dvě vlastnosti se často používají pro řešení nerovnic, například:

$\ |x - 3| \le 9$

$\ -9 \le x - 3 \le 9$

$\ -6 \le x \le 12$

Pro reálná čísla je funkce

$\ f(x) = |x|$

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je funkce spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Funkce f není injektivní, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

[editovat] Absolutní hodnota komplexních čísel

Pro komplexní číslo $\ z = a + ib$ definujeme absolutní hodnotu $\ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z z^*}$ (viz odmocnina a komplexně sdružené číslo). Tato definice splňuje vlastnosti 1 – 6 uvedené výše. Pokud je z bráno jako bod Gaussovy roviny, |z| značí jeho vzdálenost od počátku.