Nerovnice

Uvažujme dvě funkce $L(x), P(x)$, které jsou definovány na nějaké množině $D$. Zápis

$L(x) > P(x)$

resp.

$L(x) \geq P(x)$

resp.

$L(x) < P(x)$

resp.

$L(x) \le P(x)$

se nazývá nerovnicí o jedné neznámé $x$. Funkce $L(x)$ se nazývá levá strana nerovnice a $P(x)$ se nazývá pravá strana nerovnice. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje znaménko nerovnosti, které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.

Klasifikace řešení

Řešením nerovnice je taková množina všech $x \in D$, která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:

• prázdná množina: nerovnice nemá řešení; např. $x^2 < 0$, řešení: $x\in\empty$
• jedna nebo více diskrétních hodnot: kořen rovnice $L(x) = P(x)$; např. $\cos x \ge 1$, řešení: $x = 2 \pi k$, $k\in\mathbb{Z}$
• interval: všechny typy intervalů; např. $x^2 -1 \le 0$, řešení: $x \in \lang -1, 1 \rang$
• sjednocení intervalů: např. $4 - x^2 < 0$, řešení: $x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)$

Početní postup řešení

Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: ekvivalentními úpravami se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.

Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla $a, b$ platí, že pokud $a b > 0$, pak je buď $a > 0$ a $b > 0$ nebo $a < 0$ a $b < 0$. Často se také využívá skutečnosti, že pro $a > b$ platí $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na relaci obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici $-2 x > -1$ vynásobíme $-1$, dostaneme nerovnici $2 x < 1$, tzn. došlo ke změně > na <.

Grafické řešení

U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž kořeny rovnice $f(x) = 0$, můžeme je využít při řešení nerovnice $f(x) > 0$, neboť kořeny určují krajní body intervalů, které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.

Rozdělení

Podobně jako u rovnic lze také nerovnice rozdělit na algebraické a nealgebraické.

Související články

• Nerovnost
• Rovnice