Nerovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Uvažujme dvě funkce L(x), P(x), které jsou definovány na nějaké množině D. Zápis

L(x) > P(x)

resp.

L(x) \geq P(x)

resp.

L(x) < P(x)

resp.

L(x) \le P(x)

se nazývá nerovnicí o jedné neznámé x. Funkce L(x) se nazývá levá strana nerovnice a P(x) se nazývá pravá strana nerovnice. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje znaménko nerovnosti, které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.

Klasifikace řešení[editovat | editovat zdroj]

Řešením nerovnice je taková množina všech x \in D, která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:

  • prázdná množina: nerovnice nemá řešení; např. x^2 < 0, řešení: x\in\empty
  • jedna nebo více diskrétních hodnot: kořen rovnice L(x) = P(x); např. \cos x \ge 1, řešení: x = 2 \pi k, k\in\mathbb{Z}
  • interval: všechny typy intervalů; např. x^2 -1 \le 0, řešení: x \in \lang -1, 1 \rang
  • sjednocení intervalů: např. 4 - x^2 < 0 , řešení: x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)

Početní postup řešení[editovat | editovat zdroj]

Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: ekvivalentními úpravami se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.

Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla a, b platí, že pokud a b > 0, pak je buď a > 0 a b > 0 nebo a < 0 a b < 0. Často se také využívá skutečnosti, že pro a > b platí \frac{1}{a} < \frac{1}{b}.

Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na relaci obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici -2 x > -1 vynásobíme -1, dostaneme nerovnici 2 x < 1, tzn. došlo ke změně > na <.

Grafické řešení[editovat | editovat zdroj]

U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž kořeny rovnice f(x) = 0, můžeme je využít při řešení nerovnice f(x) > 0, neboť kořeny určují krajní body intervalů, které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.

Rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Podobně jako u rovnic lze také nerovnice rozdělit na algebraické a nealgebraické.

Související články[editovat | editovat zdroj]