Trojúhelníková nerovnost

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel $x$ a $y$ ve tvaru

$|x + y| \leq |x| + |y|$

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

$x \leq |x|$ a zároveň

$-x \leq |x|$.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla $x$ a $y$ a sečteme-li je, dostáváme

$x + y \leq |x| + |y|$ a

$- x - y \leq |x| + |y|$.

Z definice absolutní hodnoty $|x + y|$ víme, že může nabývat jen hodnot $x + y$ nebo $- x - y$. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru $V$ s normou $\| \cdot \|$ má trojúhelníková nerovnost tvar

$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$

pro každé dva vektory $x$ a $y$ z $V$.

L^p prostory

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru $M$ s metrikou $d$ má trojúhelníková nerovnost tvar:

$d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z)$

to jest, že vzdálenost $x$ a $z$ není větší než součet vzdálenosti z $x$ do $y$ a vzdálenosti z $y$ do $z$.

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

$\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|$ pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

$\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|$ pro normované vektorové prostory a

$\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)$ pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce $d(x, \cdot)$ jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.