Normovaný vektorový prostor

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Vektorový prostor V, na kterém je každému vektoru x přiřazena jeho norma, tzn. pro každé $\mathbf{x} \in V$ existuje zobrazení $x \to \|\mathbf{x}\|$, se nazývá normovaný.

Je výhodné, pokud lze normu definovat pomocí skalárního součinu. V takovém případě říkáme, že norma je indukována skalárním součinem. Některé normy však skalárním součinem indukovány nejsou.

V normovaném vektorovém prostoru je norma indukována skalárním součinem tehdy, pokud platí tzv. rovnoběžníková identita, která říká, že pro libovolné vektory x, y prostoru V platí

${\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\|}^2 + {\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|}^2 = 2 ({\|\mathbf{x}\|}^2 + {\|\mathbf{y}\|}^2)$

Normovaný úplný prostor se nazývá Banachův.