Riemannova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Je-li reálná řada $\sum_{i=1}^{\infty} a_n$ neabsolutně konvergentní, pak ke každému $S \in \mathbb{R}$ existuje přerovnání $\phi :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takové, že $\sum_{i=1}^{\infty} a_{\phi(n)} = S$ . Rovněž existuje oscilující přerovnání $\phi:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ této řady.

[editovat] Důkaz

Nejprve si uvědomme, že platí $\sum_{i=1}^{\infty} a_i^+ = \sum_{i=1}^{\infty} a_i^- = \infty$ , kde $a_i^+$ značí kladnou část čísla $a i$ , tedy $a_i^+ = max(a_i, 0)$ , $a_i^-$ značí zápornou část tohoto čísla: $a_i^- = max(-a, 0)$ . Je tedy $a_i = a_i^+ - a_i^-$ a $|a_i| = a_i^+ + a_i^-$ . To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
Je-li $S < 0$ , pak přeskočím následující krok.
Najdu takové přirozené číslo $n$ , pro které platí $\sum_{i=1}^n a_i^+ > S$ . Tento součet označím $T 1$ . Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu $n$ .
Nyní najdu další přirozené číslo $m$ takové, aby $\sum_{i=1}^m a_i^- + T_1< S$ . Tento součet označím $T 2$ a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty $T 1$ a $T 2$ postupně blížit k požadovanému $S$ .