Limita

Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje $\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a$ a u posloupností $\lim_{n\to\infty} a_n=a$ případně $a _n \to a\,$.

Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita posloupnosti

Posloupnost $\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty$ má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo $\varepsilon$ platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než $\varepsilon$.

Zapsáno symbolicky:

$\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon$

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 ....), kterou lze formálně zapsat jako {1-10^-j}_j.

Limita funkce

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému $\epsilon >0$ existuje takové $\delta > 0$ , že pro všechna x z $\delta$-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je $\left| f(x)-A \right|< \epsilon,$.

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Vlastní a nevlastní limita

Limitou posloupnosti může být nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol $+\infty \,\!$ nebo $-\infty \,\!$ (nevlastní limita).

Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě $+\infty \,\!$ nebo $-\infty \,\!$. V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení $f: A\to B$ mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako $b\in B$ takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že $x\in O(a)$ implikuje $f(x)\in O(b)$.

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí.

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

• 

  Graf funkce $\scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.

• 

  Graf funkce $\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x}$. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\scriptstyle \pm \infty$.

• 

  Graf funkce $\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}$. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu $\scriptstyle +\infty \,\!$ v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\scriptstyle \pm \infty$.

• Funkce ${\sin x}\over x \,\!$ není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1 (vlastní limita ve vlastním bodě) a v $+\infty \,\!$ má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
• Funkce ${\sin x} \,\!$ je v nule spojitá (limita je 0) a v $+\infty \,\!$ limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci ${x \cdot \sin x} \,\!$
• Funkce ${\sin {1\over x}} \,\!$ ani ${\sin {1\over x}}\over x \,\!$ v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích ${1\over x}\,\!$ či ${1\over x^3}\,\!$, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je $+\infty \,\!$ a levostranná $-\infty \,\!$. Naproti tomu funkce ${1\over x^2}\,\!$ a ${1\over x^4}\,\!$ mají v nule limitu $+\infty \,\!$ (nevlastní limita ve vlastním bodě).
• Funkce $e^x\,\!$ má v $-\infty \,\!$ limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v $+\infty \,\!$ limitu $+\infty \,\!$.

Související články

• Derivace
• l'Hospitalovo pravidlo
• vlastní limita
• nevlastní limita
• Spojitá funkce
• Konvergence
• Divergence