Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference.

Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vzorce

V následujících vzorcích označuje $a_n$ n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání

• $\, a_{n+1} = a_n + d$

Zadání vzorcem pro n-tý člen

• $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$

Vyjádření r-tého členu z s-tého

• $a_r = a_s + (r-s)\cdot d$

Součet prvních n členů

• $s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d$

Odvození vzorce pro součet prvních n členů

Součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

$s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + [a_1 + (n-2) d] + [a_1 + (n-1) d]$

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítaců:

$s_n =[a_1 + (n-1)d] + [a_1 + (n-2)d] + \ldots + (a_1 + d) + a_1$

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

$2s_n = n \cdot [a_1 + a_1 +(n-1)d],$

$s_n = \frac {n \cdot (a_1 + a_n)}{2}.$

Příklad

Například je-li $a_1 = -5$ a $d = 3$, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

$\ a_n = \frac {a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}$

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností

Je-li posloupnost $a_n$ aritmetická, tak je posloupnost $b^{a_n}$ geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost $g_n$ geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost $\quad \log_b g_n$ aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako arimetická řada. Není však moc zajímavý, protože kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

$\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty$,

kde kladné znaménko platí pro $d>0$ anebo $d=0, a_1>0$ a záporné pro $d<0$ anebo $d=0, a_1<0$.

Pro $a_1=d=0$ je součet samozřejmě

$\lim_{n \to \infty} s_n = 0.$

Související články

• Geometrická posloupnost
• Harmonická posloupnost
• Aritmeticko-geometrická posloupnost