Aritmetická posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference.

Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.


Vzorce[editovat | editovat zdroj]

V následujících vzorcích označuje a_n n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání[editovat | editovat zdroj]

  • \, a_{n+1} = a_n + d

Zadání vzorcem pro n-tý člen[editovat | editovat zdroj]

  •  a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d

Vyjádření r-tého členu z s-tého[editovat | editovat zdroj]

  •  a_r = a_s + (r-s)\cdot d

Součet prvních n členů[editovat | editovat zdroj]

  • s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d

Odvození vzorce pro součet prvních n členů[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + [a_1 + (n-2) d] + [a_1 + (n-1) d]

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítaců:

s_n =[a_1 + (n-1)d] + [a_1 + (n-2)d] + \ldots + (a_1 + d) + a_1

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

2s_n = n \cdot [a_1 + a_1 +(n-1)d],
s_n = \frac {n  \cdot (a_1 + a_n)}{2}.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například je-li a_1 = -5 a d = 3, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem[editovat | editovat zdroj]

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

\ a_n = \frac {a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností[editovat | editovat zdroj]

Je-li posloupnost a_n aritmetická, tak je posloupnost b^{a_n} geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost g_n geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost \quad \log_b g_n aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada[editovat | editovat zdroj]

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Není však moc zajímavý, protože kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty,

kde kladné znaménko platí pro d>0 anebo d=0, a_1>0 a záporné pro d<0 anebo d=0,  a_1<0.

Pro a_1=d=0 je součet samozřejmě

\lim_{n \to \infty} s_n = 0.

Související články[editovat | editovat zdroj]