Aritmetická posloupnost
Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference.
Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.
Obsah |
[editovat] Vzorce
V následujících vzorcích označuje
n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.
[editovat] Rekurentní zadání
[editovat] Zadání vzorcem pro n-tý člen
[editovat] Vyjádření s-tého členu z r-tého
[editovat] Součet prvních n členů
[editovat] Odvození vzorce pro součet prvních n členů
Součet prvních
členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:
Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítaců:
Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:
[editovat] Příklad
Například je-li
a
, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …
[editovat] Souvislost s aritmetickým průměrem
Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost.
[editovat] Souvislost s geometrickou posloupností
Je-li posloupnost
aritmetická, tak je posloupnost
geometrická (pro libovolný základ b≥0).
Je-li posloupnost
geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost
aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
[editovat] Aritmetická řada
Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako arimetická řada. Není však moc zajímavý, protože kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.
Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
,
kde kladné znaménko platí pro
anebo
a záporné pro
anebo
.
Pro
je součet samozřejmě




![s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + [a_1 + (n-2) d] + [a_1 + (n-1) d]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/f/2/8/f28432711bd985f5404279afb5d75e30.png)
![s_n =[a_1 + (n-1)d] + [a_1 + (n-2)d] + \ldots + (a_1 + d) + a_1](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/b/7/2/b723d53640c87c316627ec6d77437667.png)
![2s_n = n \cdot [a_1 + a_1 +(n-1)d],](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/6/b/e/6beea37779fef2036f6a726378513452.png)

,