Aritmetická posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti. Hodnota n-tého členu je rovna součtu d a předešlého členu, kde d (rozdíl dvou po sobě jdoucích členů) se nazývá diference aritmetické posloupnosti, přičemž se předpokládá $d\ne 0$ .

[editovat] Vzorce

V následujících vzorcích označuje $a n$ n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

[editovat] Rekurentní zadání

$\, a_n = a_{n-1} + d$

nebo

$\, a_{n+1} = a_n + d$

[editovat] Zadání vzorcem pro n-tý člen

$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d$

[editovat] Vyjádření s-tého členu z r-tého

$a_s = a_r + (s-r)\cdot d$

[editovat] Součet prvních n členů

$s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d$

[editovat] Odvození vzorce pro součet prvních n členů

Předchozí vzorec lze odvodit následujícím způsobem.

Součet prvních $n$ členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

$s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ ,

Vezměme v úvahu nejprve součty sudého počtu prvních n členů, tedy $n = 2 k$ :

Uvažujme dvojice tohoto typu (první a poslední člen, druhý a předposlední, atd.) jako součty :

$a_1 + a_{2k} = a_1 + a_1 +(2k-1)d = 2a_1 + (2k-1) \cdot d$ ,

$a_2 + a_{2k-1} = a_1 + d + a_1 + (2k-2) \cdot d = 2a_1 + (2k-1) \cdot d$ ,

…

$a_k + a_{2k-(k-1)} = a_1 + (k-1) \cdot d + a_1 +(2k-(k-1)-1)) \cdot d = 2a_1 + (2k-1) \cdot d$ ,

Všimněme si, že takovýchto dvojic je právě $k$ a jejich jednotlivé součty jsou stále stejné, tedy celkový součet můžeme vyjádřit takto: libovolná z těchto dvojic (vezměme tu první) krát $k$ (počet takovýchto dvojic).

$s_n = k \cdot (a_1 + a_{2k}) = \frac {n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$

Pro liché $n$ bude úvaha obdobná, položme $n = 2 k + 1$ :

$a_1 + a_{2k+1} = a_1 + a_1 +(2k)d = 2a_1 + (2k) \cdot d$ ,

$a_2 + a_{2k} = a_1 + d + a_1 + (2k-1) \cdot d = 2a_1 + (2k) \cdot d$ ,

…

$a_k + a_{2k-(k-2)} = a_1 + (k-1) \cdot d + a_1 +(2k-(k-2)-1)) \cdot d = 2a_1 + (2k) \cdot d$ .

Tedy opět vycházejí u $k$ takovýchto dvojic stejné součty, ale nesmíme zapomenout na $k + 1$ člen, který nemá podle tohoto schématu jiný člen do dvojice, sečtěme ve dvojici $a k + 1 + a k + 1$ :

$a_{k+1} + a_{k+1} = a_1 + k \cdot d + a_1 + k \cdot d = 2a_1 + (2k) \cdot d$ .

Opět vyšel stejný součet jako u předchozích dvojic. Do celkového součtu tedy musíme zahrnout $k + \frac {1}{2}$ dvojic:

$s_n = (k + \frac {1}{2}) \cdot (a_1 + a_{2k+1})$

Po dosazení za $k$ ze vztahu $n = 2 k + 1$ dostáváme stejný vzorec jako pro součet sudého počtu členů:

$s_n = \frac {n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$

tudíž tento vzorec platí pro libovolný počet prvních $n$ členů.

Tento vzorec odvodil ve svých devíti letech (v roce 1786) německý matematik Carl Friedrich Gauss.

[editovat] Příklad

Například je-li $a 1 = - 5$ a $d = 3$ , pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …

[editovat] Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako arimetická řada.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

$\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty$ ,

kde kladné znaménko platí pro $d > 0$ a záporné pro $d < 0$ .

Aritmetická řada je tedy divergentní.

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Geometrická posloupnost

Aritmetická posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Vzorce

[editovat] Rekurentní zadání

[editovat] Zadání vzorcem pro n-tý člen

[editovat] Vyjádření s-tého členu z r-tého

[editovat] Součet prvních n členů

[editovat] Odvození vzorce pro součet prvních n členů

[editovat] Příklad

[editovat] Aritmetická řada

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Tisk/export

Nástroje

V jiných jazycích