Aritmetická posloupnost
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti. Hodnota n-tého členu je rovna součtu d a předešlého členu, kde d (rozdíl dvou po sobě jdoucích členů) se nazývá diference aritmetické posloupnosti, přičemž se předpokládá
.
Obsah |
[editovat] Vzorce
V následujících vzorcích označuje an n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.
[editovat] Rekurentní zadání
nebo
[editovat] Zadání vzorcem pro n-tý člen
[editovat] Vyjádření s-tého členu z r-tého
[editovat] Součet prvních n členů
[editovat] Odvození vzorce pro součet prvních n členů
Předchozí vzorec lze odvodit následujícím způsobem.
Součet prvních n členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:
,
Vezměme v úvahu nejprve součty sudého počtu prvních n členů, tedy n = 2k:
Uvažujme dvojice tohoto typu (první a poslední člen, druhý a předposlední, atd.) jako součty :
,
,
- …
,
Všimněme si, že takovýchto dvojic je právě k a jejich jednotlivé součty jsou stále stejné, tedy celkový součet můžeme vyjádřit takto: libovolná z těchto dvojic (vezměme tu první) krát k (počet takovýchto dvojic).
Pro liché n bude úvaha obdobná, položme n = 2k + 1:
,
,- …
.
Tedy opět vycházejí u k takovýchto dvojic stejné součty, ale nesmíme zapomenout na k + 1 člen, který nemá podle tohoto schématu jiný člen do dvojice, sečtěme ve dvojici ak + 1 + ak + 1:
.
Opět vyšel stejný součet jako u předchozích dvojic. Do celkového součtu tedy musíme zahrnout
dvojic:
Po dosazení za k ze vztahu n = 2k + 1 dostáváme stejný vzorec jako pro součet sudého počtu členů:
tudíž tento vzorec platí pro libovolný počet prvních n členů.
Tento vzorec odvodil ve svých devíti letech (v roce 1786) německý matematik Carl Friedrich Gauss.
[editovat] Příklad
Například je-li a1 = − 5 a d = 3, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …
[editovat] Aritmetická řada
Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako arimetická řada.
Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
,
kde kladné znaménko platí pro d > 0 a záporné pro d < 0.
Aritmetická řada je tedy divergentní.
[editovat] Související články
| Související články obsahuje Portál Matematika |







