Bilineární forma

Bilineární forma je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to zobrazení z kartézského součinu dvou vektorových prostorů do tělesa, které je lineární v obou složkách.

Definice

Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. Bilineární forma na V je každé zobrazení $B: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to T$, které splňuje následující podmínky, kde u, v, w ∈ V a α ∈ T:

$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)\!$

$B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!$

$B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w)\!$

$B(u,\alpha v) = \alpha B(u,v)\!$

Symetrická a antisymetrická bilineární forma

Bilineární forma se nazývá:

• symetrická, platí-li pro všechna u,v $B(u,v) = B(v,u)\!$.
• antisymetrická, platí-li pro všechna u,v $B(u,v) = -B(v,u)\!$.

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část:

$B(u,v) = B^S (u,v) + B^A (u,v)\!$,

kde

$B^S (u,v) = \frac{1}{2}(B(u,v) + B(v,u))\!$ je symetrická a

$B^A (u,v) = \frac{1}{2}(B(u,v) - B(v,u))\!$ je antisymetrická.

Související články

• Lineární zobrazení
• Lineární forma
• Kvadratická forma