Komutátor (algebra)

Komutátorem dvou operátorů $A$ a $B$ se obvykle rozumí operátor $AB-BA$ a označujeme ho zkráceně $[A,B]$. Komutátor je standardně užívanou „mírou nekomutativity“ dvou operátorů, komutují-li totiž $A$ a $B$, pak je $[A,B]=0$.

Fyzikálně je motivováno zavedení antikomutátoru, který je dán jako $AB+BA$ a označován $\{A,B\}$ nebo $[A,B]_+$.

V teorii Lieových algeber je komutátor (také Lieova závorka) jakékoliv bilineární zobrazení kartézského součinu algebry se sebou do téže algebry mající následující vlastnosti:

• antisymetrie: $[A,B]=-[B,A]$
• Jacobiho identita $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

Jsou-li prvky algebry reprezentovány operátory, pak tvar $[A,B]=AB-BA$ splňuje tyto požadavky.

Související články

• Vektorový součin
• Operátor
• Vektorový prostor
• Kvantová fyzika