Hamiltonova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

[editovat] Definice

Vyjádříme zobecněné rychlosti $\dot{\mathbf{q}}$ jako funkce zobecněných souřadnic $\mathbf{q}$ , zobecněných hybností $\mathbf{p}$ a případně času $t$ , tzn.

$\dot{\mathbf{q}} = \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$

pak po dosazení do výrazu pro zobecněnou energii dostáváme energii v proměnných $\mathbf{q}, \mathbf{p}, t$ . Tato funkce se označuje $H$ a představuje Hamiltonovu funkci, tedy

$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}$ ,

kde $\mathcal{L}$ je Lagrangeova funkce systému.

[editovat] Vlastnosti

Lagrangeovu funkci $\mathcal{L}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$ lze získat z Hamiltonovy funkce $H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ dosazením za $\mathbf{p}$ zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných $\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}$ k proměnným $\mathbf{q}, \mathbf{p}$ , se nazývá Legendreovou (duální) transformací.