Sdružený operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li \mathcal{H} a \mathcal{K} Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru T : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K} pak sdruženým operátorem T^* : \mathcal{K} \rightarrow \mathcal{H}, nazveme takový operátor, který splňuje: \lang Tx , y \rang = \lang x , T^* y \rang \quad \forall x \in \mathcal{H}, y \in \mathcal{K}.

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení A^{\dagger}, ve fyzice někdy A^+.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • T^{**} = T
  • (S + T)^* = S^* + T^*
  • (ST)^*  = T^*S^*
  • (\lambda T)^* = \overline{\lambda} T^*
  • Je-li T invertibilní, tak: (T^*)^{-1} = (T^{-1})^*
  • V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru[editovat | editovat zdroj]

Máme-li běžnou operátorovu normu

 \| T \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|Tx \|

Tak platí:

\| T \| = \| T^* \|

A navíc:

\| T^*T \| = \| T \|^2

Vztah jádra a obrazu[editovat | editovat zdroj]

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj:

 \operatorname{Ker}\ T^* = ( \operatorname{Im}\ T )^\bot
 ( \operatorname{Ker}\ T^* )^\bot = \overline{\operatorname{Im}\ T}

Prvá rovnost platí protože:

\begin{align}
T^* x = 0 &\iff
\langle T^*x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff
\langle x,Ty \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff
x\ \bot \ \operatorname{Im}\ T
\end{align}

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.