Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li $\mathcal{H}$ a $\mathcal{K}$ Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru $T : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ pak sdruženým operátorem $T^* : \mathcal{K} \rightarrow \mathcal{H}$, nazveme takový operátor, který splňuje: $\lang Tx , y \rang = \lang x , T^* y \rang \quad \forall x \in \mathcal{H}, y \in \mathcal{K}.$

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení $A^{\dagger}$, ve fyzice někdy $A^+$.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

• $T^{**} = T$
• $(S + T)^* = S^* + T^*$
• $(ST)^* = T^*S^*$
• $(\lambda T)^* = \overline{\lambda} T^*$
• Je-li $T$ invertibilní, tak: $(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*$
• V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu

$\| T \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|Tx \|$

Tak platí:

$\| T \| = \| T^* \|$

A navíc:

$\| T^*T \| = \| T \|^2$

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj:

$\operatorname{Ker}\ T^* = ( \operatorname{Im}\ T )^\bot$

$( \operatorname{Ker}\ T^* )^\bot = \overline{\operatorname{Im}\ T}$

Prvá rovnost platí protože:

$\begin{align} T^* x = 0 &\iff \langle T^*x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff \langle x,Ty \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff x\ \bot \ \operatorname{Im}\ T \end{align}$

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.