Cauchyho-Schwarzova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova, Bunjakovského, Cauchyho-Bunjakovského nebo Cauchy–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra, analýza nebo teorie pravděpodobnosti. Bývá považována, za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Na unitárním prostoru \mathcal{V} se skalárním součinem \lang \cdot, \cdot \rang platí:

| \lang x, y \rang |^2 \le \lang x, x \rang \lang y, y \rang \ \forall x,y \in \mathcal{V}.

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

| \lang x, y \rang | \le \| x \| \| y \| \ \forall x,y \in \mathcal{V}.

Navíc, rovnost nastává právě když jsou x a y lineárně závislé.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Pro každé x, y \ne 0 existuje z takové, že:

x = \lambda y + z, kde \lambda = \frac{\lang x, y \rang}{\lang y, y \rang}, \ z \bot y.

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

\| x \|^2 = |\lambda|^2\|y\|^2 + \|z\|^2 \ge |\lambda|^2\|y\|^2 = \frac{|\lang x,y \rang|^2}{\|y\|^4}\|y\|^2 = \frac{|\lang x,y \rang |^2}{\| y \|^2}

Z čehož plyne:

\| x \|^2 \| y \|^2 \ge |\lang x, y \rang|^2.

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně \| z \| = 0 \Rightarrow z = 0 a tudíž: x = \lambda y jsou x,y lineárně závislé. ∎