Cauchyho-Schwarzova nerovnost

V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova, Bunjakovského, Cauchyho-Bunjakovského nebo Cauchy–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra, analýza nebo teorie pravděpodobnosti. Bývá považována, za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost.

Znění

Na unitárním prostoru $\mathcal{V}$ se skalárním součinem $\lang \cdot, \cdot \rang$ platí:

$| \lang x, y \rang |^2 \le \lang x, x \rang \lang y, y \rang \ \forall x,y \in \mathcal{V}$.

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

$| \lang x, y \rang | \le \| x \| \| y \| \ \forall x,y \in \mathcal{V}$.

Navíc, rovnost nastává právě když jsou $x$ a $y$ lineárně závislé.

Důkaz

Pro každé $x, y \ne 0$ existuje $z$ takové, že:

$x = \lambda y + z$, kde $\lambda = \frac{\lang x, y \rang}{\lang y, y \rang}, \ z \bot y$.

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

$\| x \|^2 = |\lambda|^2\|y\|^2 + \|z\|^2 \ge |\lambda|^2\|y\|^2 = \frac{|\lang x,y \rang|^2}{\|y\|^4}\|y\|^2 = \frac{|\lang x,y \rang |^2}{\| y \|^2}$

Z čehož plyne:

$\| x \|^2 \| y \|^2 \ge |\lang x, y \rang|^2$.

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně $\| z \| = 0 \Rightarrow z = 0$ a tudíž: $x = \lambda y$ jsou $x,y$ lineárně závislé. ∎