Hölderova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Na prostoru s mírou (X, \Sigma, \mu) mějme μ-měřitelné funkce f, g na X. Dále nechť existují čísla 1 \le p, q \le \infty, taková, že: 1/p + 1/q = 1. Pak platí:

\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Důležité speciální případy[editovat | editovat zdroj]

Pro následující případy předpokládejme, že 1 < p,q < \infty a 1/p+1/q = 1.

Aritmetická míra[editovat | editovat zdroj]

V případě n-rozměrného Eukleidovského prostoru a_k, b_k \in \mathbb{C}^n, s množinou  X = \{1, ..., n\} a \mu aritmetickou mírou dostáváme:

\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}.

Rovnost nastává, právě když |b_k|=c|a_k|^{p-1}.

Lp prostory[editovat | editovat zdroj]

Pokud f \in L^p(X), g \in L^q(X), tak f \cdot g \in L^1(X) a navíc:

\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}

Pro p = q = 2 pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a x\in<0,1> platí xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}. Rovnost nastává, právě když r=s nebo x\in\{0,1\}. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.