Youngova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, Youngova nerovnost dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li a, b \geq 0, p, q \in (1, \infty), p q = p+q, pak

ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Pro a = 0 nebo b = 0 je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu dostáváme, že

\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b),

což bylo dokázat.

Související články[editovat | editovat zdroj]