Youngova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, Youngova nerovnost dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li a, b \geq 0, p, q \in (1, \infty), pq = p + q, pak

ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

[editovat] Důkaz

Pro a = 0 nebo b = 0 je důkaz triviální. Jinak z konkavity logaritmu dostáváme, že

\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b),

což bylo dokázat.

[editovat] Související články

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Youngova_nerovnost“