Jensenova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. S výhodou ji lze využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

Vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Nechť \varphi je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu   \left[a,b\right] , n \in \mathbb{N}, \left( \forall i \in \hat{n} \right) \left( x_i \in \left[a,b\right] \right).
Potom platí:  \varphi \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi \left( x_i \right) ,
kde  \left( \forall i \in \hat{n} \right) \left( \lambda_i \in \left[0,1\right] \right) a  \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 .
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Konvexnost funkce \varphi na  \left[a,b\right] je ekvivalentní s výrokem:

\left( \forall x,y \in \left[a,b\right], x<y \right) \left( \forall \lambda \in \left[0,1\right] \right) \left( \varphi\left( \lambda y + (1-\lambda)x \right) \leq \lambda \varphi(y) + (1-\lambda)\varphi(x) \right) .

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle n.

  • n = 1: případ je triviální,
  • n = 2: tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
  • n \to n + 1:

Indukční předpoklad:  \varphi \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi \left( x_i \right) .
Dokážeme tuto nerovnost pro n+1, tedy:  \varphi \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \varphi \left( x_i \right) .
Sporem lze ukázat:  \left( \exists i_0 \in \widehat{n+1} \right) \left( \lambda_{i_0} \neq 1 \right) . Kdyby totiž platil opak, tedy  \left( \forall i_0 \in \widehat{n+1} \right) \left( \lambda_{i_0} = 1 \right), pak  \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = n+1 \geq 2 , což je spor s předpoklady.

Protože platí:  \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = 1 , platí také  \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \lambda_i = \lambda , kde \lambda := 1 - \lambda_{i_0}, a tedy:  \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} = 1 .
Snadno lze také ukázat:  \left( \forall i \in \widehat{n+1}, i \neq i_0 \right) \left( \frac{\lambda_i}{\lambda} \in \left[0,1\right] \right) , protože  \left( \forall i \in \widehat{n+1}, i \neq i_0 \right) \left( \lambda_i \in \left[0,\lambda \right] \right) .
Pak lze zřejmě psát: 
\varphi \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) 
= \varphi \left( \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \lambda_i x_i + \lambda_{i_0} x_{i_0} \right) 
= \varphi \left( \lambda \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i + (1-\lambda) x_{i_0} \right)
.
Označme:  y:=\sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i a dokažme, že y \in \left[a,b\right]. Protože  \left( \forall i \in \widehat{n+1} \right) \left( x_i \in \left[a,b\right] \right) , můžeme y odhadnout shora, resp. zdola, když za x_i, pro všechna i dosadíme b, resp. a (zřejmě totiž platí:  b = \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} b , pro a analogicky).
Potom lze napsat:  
\varphi \left( \lambda \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i + (1-\lambda) x_{i_0} \right) 
= \varphi \left( \lambda y + (1-\lambda) x_{i_0} \right) 
.
Z uvedené definice konvexnosti plyne: 
\varphi \left( \lambda y + (1-\lambda) x_{i_0} \right) \leq \lambda \varphi(y) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) 
.
Podle indukčního předpokladu lze psát: 
\lambda \varphi(y) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) 
= \lambda \varphi(\sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) 
\leq \lambda \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} \varphi(x_i) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) 
= \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \varphi \left( x_i \right)
.
Důsledkem tedy je:  \varphi \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \varphi \left( x_i \right) , což je dokazovaná nerovnost.

Související články[editovat | editovat zdroj]