Součinová topologie

Součinová topologie je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie.

Definice

Nechť $X_1, X_2$ jsou dva topologické prostory. Součinová topologie na kartézském součinu $X_1\times X_2$ je systém otevřených množin generovaný všemi množinami $p_i^{-1}(U)$, kde $U$ je otevřená množina v $X_i$ a $p_i: X_1 \times X_2 \to X_i$ definované $p_i(x_1,x_2):=x_i,$ $i=1, 2$, jsou (přirozené) projekce. Podobně se definuje součinová topologie na libovolném součinů topologických prostorů (i nespočetném).

Příklad

Součinová topologie na $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ uvažovaných s metrickou topologie je shodná s metrickou topologií na $\mathbb{R}^{n+m}$.

Tvrzení

1. Následující definice je definici součinové topologie ekvivalentní:

Součinová toplogie je nejhrubší topologie na $X_1 \times X_2$, že projekce $p_i$ jsou spojité pro $i\in\{1, 2\}$.

2. Součinová toplogie splňuje univerzální vlastnost, tj. kategorie topologických prostorů je kategorií se součinem.

Poznámka

Součinovou topologii lze definovat pro větší počet kartézsky násobených topologických prostorů. Na takovémto součinu lze zavést více přirozených součinových topologií, které však s výše uvedenou nemusejí obecně splývat.