Součinová topologie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Součinová topologie je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť X_1, X_2 jsou dva topologické prostory. Součinová topologie na kartézském součinu X_1\times X_2 je systém otevřených množin generovaný všemi množinami p_i^{-1}(U), kde U je otevřená množina v X_i a p_i: X_1 \times X_2 \to X_i definované p_i(x_1,x_2):=x_i, i=1, 2, jsou (přirozené) projekce. Podobně se definuje součinová topologie na libovolném součinů topologických prostorů (i nespočetném).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Součinová topologie na \mathbb{R}^n a \mathbb{R}^m uvažovaných s metrickou topologie je shodná s metrickou topologií na \mathbb{R}^{n+m}.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

1. Následující definice je definici součinové topologie ekvivalentní:

Součinová toplogie je nejhrubší topologie na X_1 \times X_2, že projekce p_i jsou spojité pro i\in\{1, 2\}.

2. Součinová toplogie splňuje univerzální vlastnost, tj. kategorie topologických prostorů je kategorií se součinem.

Poznámka[editovat | editovat zdroj]

Součinovou topologii lze definovat pro větší počet kartézsky násobených topologických prostorů. Na takovémto součinu lze zavést více přirozených součinových topologií, které však s výše uvedenou nemusejí obecně splývat.