Sloupcový vektor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice velikosti m × 1, tj. matice sestávající z jediného sloupce s m prvky:

\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}^{\rm T} = \begin{pmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{pmatrix}

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis[editovat | editovat zdroj]

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{pmatrix}^{\rm T}
nebo
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{pmatrix}^{\rm T}

Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují čárkami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis 2 v tabulce níže).

Řádkový vektor Sloupcový vektor
Standardní maticový zápis  \begin{pmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \text{ nebo } \begin{pmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{pmatrix}^{\rm T}
Alternativní zápis 1  \begin{pmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{pmatrix} \qquad  \begin{pmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{pmatrix}^{\rm T}
Alternativní zápis 2  \begin{pmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{pmatrix} \qquad  \begin{pmatrix} x_1; x_2; \dots; x_m \end{pmatrix}

Operace[editovat | editovat zdroj]

  • Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.
  • Skalární součin dvou vektorů a a b je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru a sloupcovým vektorem b:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^\mathrm{T} \mathbf{b} = \begin{pmatrix}
    a_1  & a_2  & a_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
    b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{pmatrix}.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Column vector na anglické Wikipedii.

  • AXLER, Sheldon Jay. Linear Algebra Done Right. 2nd. vyd. [s.l.] : Springer-Verlag. ISBN 0-387-98259-0.  
  • LAY, David C.. Linear Algebra and Its Applications. 3rd. vyd. [s.l.] : Addison Wesley. ISBN 978-0-321-28713-7.  
  • MEYER, Carl D.. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. [s.l.] : Society pro Industrial a Applied Mathematics (SIAM). Dostupné online. ISBN 978-0-89871-454-8.  
  • POOLE, David. Linear Algebra: A Modern Introduction. 2nd. vyd. [s.l.] : Brooks/Cole. ISBN 0-534-99845-3.  
  • ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra (Applications Version). 9th. vyd. [s.l.] : Wiley International.  
  • LEON, Steven J.. Linear Algebra With Applications. 7th. vyd. [s.l.] : Pearson Prentice Hall.  
Související informace naleznete také v článku Lineární algebra#Literatura.