Sloupcový vektor

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice typu $m\times 1$, tj. matice sestávající z jediného sloupce o $m$ prvcích:

${\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}$

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}$

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

${\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují mezerami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis v tabulce níže).

	Řádkový vektor	Sloupcový vektor
Standardní maticový zápis	$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$	${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}{\text{ nebo }}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})^{\mathrm {T} }$
Alternativní zápis	$(x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m})$	${\begin{pmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{pmatrix}}$

Operace

• Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.

• Skalární součin dvou vektorů ${\boldsymbol {x}}$ a ${\boldsymbol {y}}$ je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru ${\boldsymbol {x}}$ sloupcovým vektorem ${\boldsymbol {y}}$:

$\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3}){\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Column vector na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související informace naleznete také v článku Lineární algebra#Literatura.

Související články

• Kovariance a kontravariance vektorů

Portály: Matematika