Pseudoinverzní matice nebo též zobecněná inverze se používá ke zobecnění pojmu inverzní matice v případech, kdy matice je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzí, kterou poprvé zavedli Moore (1920) a Penrose (1931) a obvykle se značí .
Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzí matice nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
tzv. Mooreových–Penroseových podmínek. Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi značíme . (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)
Nechť , . Uvažujme singulární rozklad
kde
pak
Snadno ověříme, že takto zvolená matice splňuje všechny čtyři podmínky.
Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení a provedeme-li jeho restrikci na , kde je bijektivní, pak Mooreova–Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.
Má-li matice lineárně nezávislé sloupce, pak je regulární a
má-li naopak lineárně nezávislé řádky, pak je regulární a
Zřejmě, je-li matice regulární (speciálně má lineárně nezávislé řádky i sloupce), pak
Uvažujme lineární aproximační problém
pak
je řešení ve smyslu nejmenších čtverců, má-li matice lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,
navíc má minimální normu mezi všemi , které výraz vlevo minimalizují.
Další zobecněné inverze odvozené od Mooreových–Penroseových podmínek[editovat | editovat zdroj]
Uvažujme Mooreovy–Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:
- (1)-inverze, značíme ,
- (1,2)-inverze, značíme ,
- (1,2,3)-inverze, značíme ,
- (1,2,4)-inverze, značíme ,
- (1,2,3,4)-inverze, značíme .
Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice , pak platí
pro libovolné matice , , .
(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí .
(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou , tedy
(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou , tedy
(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Mooreova–Penroseova pseudoinverze.
V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.
Drazinova, grupová a spektrální zobecněná inverze[editovat | editovat zdroj]
Je-li navíc matice čtvercová (singulární), lze zobecnit i další vztahy, které klasická inverze přirozeně splňuje, například
- (1k)
- (5)
- (5k)
- (6k)
Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. Drazinova inverze. Podmínky (1k), (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám
Drazinova inverze pro , tedy (1,2,5)-inverze, se nazývá grupová inverze a značí se .
Je-li čtvercová singulární matice diagonalizovatelná, tj. , kde je diagonální s vlastními čísly na diagonále. Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu
Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se spektrální inverze.
Je-li navíc matice normální, tj. , pak její spektrální inverze a Mooreova–Penroseova pseudoinverze splývají.
- Adi Ben-Israel, Thomas N. E. Greville, Generalized inverses, Theory and a applications, Springer Verlag, Berlin, 2003 (Second Edition).
- M. Zuhair Nashed (Ed.), Generalized inverses and applications, Academic Press, New York, 1976.