Pseudoinverze matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pseudoinverze matice $\mathbf{A}^{+}$ se používá pro matice $m \times n$ , kde $m \neq n$ .Pseudoinverze matice poprvé definoval Moore (1920) a Penrose (1955).

Obsah

1 Vlastnosti
2 Využití
3 Souviející články
4 Externí odkazy

[editovat] Vlastnosti

Pseudoinverze matice má tyto vlastnosti:

$\mathbf{A}\mathbf{A}^{+}\mathbf{A} = \mathbf{A}$
$\mathbf{A}^{+}\mathbf{A}\mathbf{A}^{+} = \mathbf{A}^{+}$
$(\mathbf{A}\mathbf{A}^{+})^{T} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{+}$
$(\mathbf{A}^{+}\mathbf{A})^T = \mathbf{A}^{+}\mathbf{A}$

[editovat] Využití

Předpokládejme, že platí:

$\mathbf{z} = \mathbf{A}^{+}\mathbf{c}$ ,

pak následující výraz, je řešení problému metodou nejmenších čtverců:

$\mathbf{c} = \mathbf{A}\mathbf{z}$

Pokud existuje inverzní matice součinu $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ , pak platí

$\mathbf{A}^{+} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}$ ,

kde $\mathbf{A}^{T}$ je transponovaná matice matice $\mathbf{A}$ . Je důležité si uvědomit, že součin $\mathbf{A}\mathbf{A}^{T}$ dává čtvercovou matici, kterou již lze invertovat.