Centrum grupy

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice

Centrem grupy $\mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e)$ myslíme množinu $\{h \in G|\forall g \in G:g\odot h = h\odot g\}.$ Tedy množinu všech prvků z $G$, které s každým prvkem z $G$ vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit $Z(G)$.

Lemma

Nechť $\mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e)$ je grupa. Pak $Z(G)\trianglelefteq G$ (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz

Rozmyslete si, že $Z(G)$ je uzavřené na $\odot$ (tj. pokud $h, g \in Z(G)$, pak i $h\odot g \in Z(G)$) a $e \in Z(G)$ (připomeňme, že prvek $e$ jednotkový prvek grupy $G$, pokud $\forall g \in G: g\odot e = e\odot g = g$).

Pokud je $g \in Z(G)$, pak $g^{-1}\odot h=(h^{-1}\odot g)^{-1}=(g \odot h^{-1})^{-1}=h \odot g^{-1}$. Tím jsme ukázali, že $g^{-1}\in Z(G)$.

Zatím jsme dokázali, že $Z(G)$ je grupa, víme, že se skládá jen z prvků $G$, takže je to podgrupa $G.$ Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné $g \in Z(G)$ a jakékoli $h \in G.$ Pak $h\odot g\odot h^{-1} = h\odot h^{-1} \odot g = e\odot g = g$. Tedy $h\odot g\odot h^{-1} \in Z(G)$ a proto je $Z(G)$ normální podgrupa $G.$

Poznámka

Nosič $G$ každé grupy $\mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e)$ může být zapsán takto: $G=Z(G)\cup^{disj.}\bigcup_{h \in I}^{disj.}O_h$, kde $O_h$ je orbita prvku $h \in G$ vzhledem k vnitřnímu automorfismu a $I$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy $G$.

Důsledek

Je-li $\mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e)$ konečná grupa, pak $|G|=|Z(G)|+\sum_{h\in I}[G:C_h]$, kde $I$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy $G$ a $[G:C_h]$ je index stabilisátoru prvku $h$.

Další Důsledek

Nechť $\mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e)$ je grupa řádu $|G|=p^n$, kde $p$ je prvočíslo a $0<n\in \mathbb{N}$. Pak $|Z(G)|>1$.

Věta

Ať $\mathcal{G}$ je grupa řádu $p^2$, kde $p$ je prvočíslo. Pak $\mathcal{G}$ je komutativní a buď $\mathcal{G}\backsimeq \mathbb{Z}_{p^2}$ nebo $\mathcal{G}\backsimeq \mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p$

Důkaz

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Shrnutí

Centrum grupy je pojem z abstraktní algebry a proto je celkem obtížné jeho vlastnosti vyložit bez předchozích znalostí. Zároveň jsme v článku neodpověděli na tíživou otázku "K čemu to je?". Nezbývá, než odkázat čtenáře na odbornou literaturu, třebas tu uvedenou v dalším odstavci.

Související články

• Normální podgrupa
• Akce grupy na množině
• Orbita
• Grupa

Literatura

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)