Normální podgrupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Normální podgrupa \mathbb{P} grupy (\mathbb{G},\cdot) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí

\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \equiv \{g \cdot p, p \in \mathbb{P} \} = \{p \cdot g, p \in \mathbb{P} \} \equiv \mathbb{P} \cdot g

V abstraktní algebře je normální podgrupa podgrupou, která je neměnná ve spojení se členy skupiny, které je součástí. Jinými slovy, podgrupa H grupy G je v G normální jen potud, pokud gH=Hg pro všechna g v G.

Évariste Galois byl první, kdo si uvědomil význam existence normální podgrupy.

Jiné definice[editovat | editovat zdroj]

Podmínku \forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} = \mathbb{P} \cdot g lze přepsat do tvaru \forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}. Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:

\mathbb{P} je normální podgrupa (\mathbb{G},\cdot), pokud je to její podgrupa a navíc platí

\forall g \in \mathbb{G}, p \in \mathbb{P} \quad g \cdot p \cdot g^{-1} \in \mathbb{P}.

Z tohoto vztahu plyne, že  g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} \subseteq \mathbb{P}, a protože platí i pro g^{-1}: g^{-1} \cdot \mathbb{P} \cdot g \subseteq \mathbb{P} \Leftrightarrow \mathbb{P} \subseteq g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1}, je ekvivalentní \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}.

Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům p \mapsto g \cdot p \cdot g^{-1}.

Podgrupa N grupy G se nazývá normální podgrupou pokud je neměnná v konjugaci, tzn.: Pro každý prvek n v N a g v G, prvek gng−1 je stále součástí N. Zápis:

N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G},\, gng^{-1}\in{N}.

Jakákoliv podgrupa, která splňuje následující podmínky, je normální. Každá může tedy být brána jako definice:

  • Pro všechna g v G: gNg−1 ⊆ N
  • Pro všechna g v G: gNg−1 = N
  • Pravý a levý soubor třídy ekvivalentních prvků N v G se shodují.
  • Pro všechna g v G: gN = Ng
  • N je sjednocením konjugačních tříd v G.
  • Existuje jistý homomorfismus, jehož je N jádrem.

Poslední podmínka objasňuje důležitost normální podgrupy – ta je způsobem, jak vnitřně klasifikovat všechny homomorfismy definované uvnitř grupy. Např. neidentická konečná grupa je jednoduchá, pouze pokud je izomorfní vůči všem svým neidentickým homomorfním obrazům, konečná grupa je ideální pouze pokud nemá normální podgrupy primárního či prvočíselného exponentu, a grupa je neideální pouze pokud odvozená podgrupa není doplněna žádnou správnou normální podgrupou.

Příklady normálních podgrup[editovat | editovat zdroj]

  • Jádro homomorfismu \varphi:\mathbb{G} \to \mathbb{H} je normální podgrupou, protože pokud p je prvkem jádra, tedy platí-li \varphi(p) = e_{\mathbb{H}}, pak i \varphi(g \cdot p \cdot g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(p) \varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \varphi(g)^{-1} = e_{\mathbb{H}} a tedy i g \cdot p \cdot g^{-1} je prvkem jádra.
  • Podgrupa {e} skládající se pouze z identické části G a G je vždy normální podgrupou G. Prvně jmenovaná se nazývá triviální podgrupa a jestliže je jen normální podgrupou, G se nazývá jednoduchá podgrupa.
  • Středem grupy je normální podgrupa.
  • Komutativní podgrupa je normální podgrupa.
  • Obecně, jakákoliv typická podgrupa je normální, protože konjugace je vždy homomorfní.
  • Všechny podgrupy N komutativní grupy G jsou normální, protože gN = Ng. Grupa, která není komutativní, ale pro niž je každá podgrupa normální se nazývá Hamiltonova grupa.
  • Měnící se grupa v jakékoliv dimenzi je normální podgrupa Euklidovské grupy; např. ve 3D výsledkem rotace, změny a zpětné rotace je pouze změna (změna viděna v zrcadle se jeví jako změna se zrcadlově obráceným změnovým vektorem.) Změna o určitou vzdálenost jakýmkoliv směrem tvoří konjugační skupinu; změnová skupina je sjednocením skupin pro všechny vzdálenosti.
  • V grupě Rubikovy kostky, podgrupa skládající se z operací, které ovlivňují pouze rohové kostky, je normální, protože žádná konjugační transformace nemůže způsobit, aby transformace ovlivnila okrajové kostky místo rohových. Naopak, podgrupa skládající se z otáčení horní plochy není normální, protože konjugační transformace může přesunout horní části na spodní plochu a tedy ne všechny konjugáty prvků této grupy jsou obsaženy v podgrupě.

Centrum grupy[editovat | editovat zdroj]

Mějme grupu G. Její podmnožina Z(G) všech prvků s takových, že pro všechna g \in G platí s \cdot g = g \cdot s, se nazývá centrum grupy G. Centrum grupy G je normální podgrupou grupy G.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Normalita je udržována v surjektivním homomorfismu, a je také udržována tím, že nabývá inverzních obrazů.
  • Normální podgrupa normální podgrupy určité grupy nemusí být normální. Tedy, normalita není tranzitivní vztah. Avšak, charakteristická podgrupa normální podgrupy je normální. Rovněž, normální podgrupa ústředního činitele je normální, zejména normální podgrupa přímého činitele je normální.
  • Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecně, podgrupa H konečného exponentu n v G obsahuje podgrupu K normální v G a exponentem dělícím n! se nazývá normální jádro. Zejména je-li p nejmenší prvočíslo dělící třídu G, pak každá podgrupa exponentu p je normální.

Svaz normálních podgrup[editovat | editovat zdroj]

Normální podgrupy grupy G tvoří mřížku podmnožiny zahrnující nejmenší prvek {e} a největší prvek G. Jsou dány dvě normální podgrupy N a M v G, průnik je definován jako

N \wedge M := N \cap M

a logický součet jako

N \vee M := N M = \{nm \,|\, n \in N \text{, and } m \in M\}.

Mřížka je kompletní a modulární.

Normální podgrupa a homomorfismus[editovat | editovat zdroj]

Jestliže N je normální podgrupa, můžeme definovat násobky třídy ekvivalentních prvků jako

(a1N)(a2N) := (a1a2)N.

Toto mění soubor třídy ekvivalentních prvků na grupu nazývanou kvocientní grupa G/N. Existuje přirozený homomorfismus f: G → G/N daný f(a) = aN. Obraz f(N) se skládá pouze z identických prvků G/N, třídy ekvivalentních prvků eN = N.

Obecně, homomorfismus grupy f: G → H převádí podgrupu G na podgrupu H. Rovněž, předobraz jakékoliv podgrupy H je podgrupou G. Předobraz triviální podgrupy {e} v H nazýváme jádrem homomorfismu a označujeme ho ker(f). Ukazuje se, že jádro je vždy normální a obraz f(G) v G je vždy isomorfní vůči G/ker(f) (první isomorfní teorém). V podstatě je tento soulad rozdělením mezi skupinou všech kvocientních grup G/N v G a skupiny homomorfních obrazů v G. Můžeme také vidět, že jádro jako kvocientní mapy, f: G → G/N, je N, čímž jsme ukázali, že normální podgrupy jsou přesně jádry homomorfismu s doménou G.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Zdroje[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]