Cramerovo pravidlo

Tento článek nebo jeho část potřebuje upravit do jednotného stylu Wikipedie nebo přiměřeně doplnit wikiodkazy na ostatní články.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vhodně vylepšíte.

Tato stránka je kandidátem na přesunutí na Wikiknihy.

Na stránkách tohoto projektu se umísťují svobodné a otevřené návody, manuály či učebnice. Na Wikipedii článek může zůstat, pouze pokud bude upraven do encyklopedické podoby.

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup [editovat]

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy $\mathbf{A}$ (je typu n x n). Dále označme $\mathbf{A}_i$ jako matici, kterou získáme z matice $\mathbf{A}$ , nahradíme-li v ní $i$ -tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ ,

pak má $\mathbf{A}_i$ tvar

$\mathbf{A}_i = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $\det \mathbf{A} \neq 0$ , tzn. matice $\mathbf{A}$ je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}$

pro $i = 1, 2, ..., n$ . Čísla $x_1$ až $x_n$ spolu tvoří jedno řešení.

Příklad [editovat]

Úkolem je řešit soustavu rovnic

$x + y = 3$

$x - 2 y = 1$

Determinant matice soustavy je

$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3$

Poněvadž je $\det \mathbf{A} \neq 0$ , lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$\det \mathbf{A}_1 = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7$

$\det \mathbf{A}_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

Řešení má tedy tvar

$x = \frac{\det \mathbf{A}_1}{\det \mathbf{A}} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$

$y = \frac{\det \mathbf{A}_2}{\det \mathbf{A}} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz [editovat]

$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\frac{ \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & b_{j-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & b_j & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & b_{j+1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{ \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & 0 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & 0 & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & 1 & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & 0 & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & 0 & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice $\mathbf{A}$ označíme $\mathbf{A}_{ji}$ , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme