Cramerovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy \mathbf{A} (je typu n x n). Dále označme \mathbf{A}_i jako matici, kterou získáme z matice \mathbf{A}, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

\mathbf{A} = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}
\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix} ,

pak má \mathbf{A}_i tvar

\mathbf{A}_i = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}


Pokud je determinant matice soustavy nenulový, \det \mathbf{A} \neq 0, tzn. matice \mathbf{A} je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}

pro i = 1, 2, ..., n. Čísla x_1x_n spolu tvoří jedno řešení.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je řešit soustavu rovnic

x + y = 3
x - 2 y = 1

Determinant matice soustavy je

\det \mathbf{A} = 
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & -2 \end{vmatrix} = -3

Poněvadž je \det \mathbf{A} \neq 0, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

\det \mathbf{A}_1 = 
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & -2 \end{vmatrix} = -7
\det \mathbf{A}_2 = 
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
1 & 1 \end{vmatrix} = -2

Řešení má tedy tvar

x = \frac{\det \mathbf{A}_1}{\det \mathbf{A}} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}
y = \frac{\det \mathbf{A}_2}{\det \mathbf{A}} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\frac{
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & b_{j-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\
a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & b_j & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\
a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & b_{j+1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & 0 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & 0 & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\
a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & 1 & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\
a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & 0 & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & 0 & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice \mathbf{A} označíme \mathbf{A}_{ji}, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{(-1)^{i+j}\det\mathbf{A}_{ji}}{\det \mathbf{A}}

Zlomek ve výrazu je prvkem (\mathbf{A}^{-1})_{i,j} inverzní matice \mathbf{A}^{-1}.

\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n (\mathbf{A}^{-1})_{i,j}b_j=(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b})_i

Protože \mathbf{Ax}=\mathbf{b} a \det \mathbf{A} \ne0, je \mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} a tedy

x_i=\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}


Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]