Podmíněnost matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice[editovat | editovat zdroj]

Nechť A\in\mathbb{R}^{n\times n} je čtvercová regulární matice, pak číslo

\kappa_p(A)=\|A\|_p\|A^{-1}\|_p,

kde \|\cdot\|_p značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice A vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá \|\cdot\|_2 spektrální a \|\cdot\|_F Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice A symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

\kappa_2(A)=\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)},

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice A.

Je-li regulární matice A normální (tedy A^TA=AA^T), pak

\kappa_2(A)=\frac{\max\{|\lambda|;\lambda\in\mathrm{sp}(A)\}}{\min\{|\lambda|;\lambda\in\mathrm{sp}(A)\}},

kde \mathrm{sp}(A) je spektrum matice A; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice A.

Pro obecnou čtvercovou regulární matici A je podmíněnost

\kappa_2(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_n}=\frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)},

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice A (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

\kappa_2(A)=\kappa_2(A^T)=\kappa_2(A^{-1})=\kappa_2(\alpha A), \qquad \kappa_2(AA^T)=\kappa_2(A^TA)=\kappa_2(AA)=\kappa_2^2(A).


Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ortogonální matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice A ortogonální, pak zřejmě \kappa_2(A)=1. Obecně platí

A^TA=AA^T=\alpha^2 I_n\qquad\Longleftrightarrow\qquad\kappa_2(A)=1,

kde \alpha\neq 0.

Vzdálenost od nejbližší singulární matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice A regulární, a matice E je nějaká její perturbace tak, že

\frac{\|E\|_2}{\|A\|_2}<\frac{1}{\kappa_2(A)}

pak je i matice A+E regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

\frac{\|E\|}{\|A\|}<\frac{1}{\kappa(A)}=\frac{1}{\|A\|\|A^{-1}\|}

lze zapsat ve tvaru \|A^{-1}\|\|E\|<1. Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li A+E singulární, pak \|A^{-1}\|\|E\|\geq1. Nechť tedy existuje v\neq0 tak, že (A+E)v=0, tedy v=-A^{-1}Ev, pak

\|v\|=\|A^{-1}Ev\|\leq\|A^{-1}\|\|E\|\|v\|.

Protože \|v\|\neq0 můžeme nerovnost dělit \|v\| a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant[editovat | editovat zdroj]

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

A=\alpha I_n\in\mathbb{R}^{n\times  n},\qquad \alpha = 10^{-1},\;n=1000,

pak

\det(A)=\alpha^n=10^{-1000},\qquad \kappa_2(A)=\frac\alpha\alpha=1.

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, \epsilon_M\approx2.22\times10^{-16}) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita[editovat | editovat zdroj]

Nechť A(t) je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru t a nechť všechna singulární čísla matice A(t) jsou jednoduchá pro všechna t (pak jsou též spojitými funkcemi parametru t). Nechť je matice A(t) regulární všude v nějakém okolí bodu t=t_0 a zároveň A(t_0) je singulární. Pak

\lim_{t\rightarrow t_0}\kappa_2(A(t)) = +\infty.

Obdélníková matice[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme obdélníkovou matici A\in\mathbb{R}^{m\times n}, která má plnou hodnost, tedy \mathrm{rank}(A)=r\equiv\min\{m,n\}. Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

\kappa_2(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_r}=\frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}=\|A\|_2\|A^\dagger\|_2,

kde A^\dagger je Moore-Penroseova pseudoinverze matice A.

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Moore-Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často případů vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6.