Speciální lineární grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Speciální lineární grupa je pojem z teorie grup. Jde o grupu lineárních automorfizmů nějakého vektorového prostoru, které mají determinant jedna. Grupová operace je operace skládání zobrazení.

Ekvivalentně se dá definovat jako množina regulárních matic n\times n, které mají determinant jedna. Pro n-rozměrný vektorový prostor V nad tělesem F se příslušná speciální lineární grupa značí SL(V), resp. SL(n,F).

Podobně se definuje speciální lineární grupa pro matice nad nějakým okruhem. Regulární matice nad okruhem obecně nejsou invertibilní, matice determinantu 1 ale ano. Pro okruh celých čísel dostáváme grupu celočíselných matic n\times n s jednotkovým determinantem SL(n,\Z).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Speciální lineární grupy nad reálnými resp. komplexnímy čísly SL(n,\R) resp. SL(n,\C) tvoří pro n>1 jednoduchou Lieovu grupu dimenze n-1 resp. 2n-2. Tyto grupy jsou nekompaktní. Maximální kompaktní podgrupa SL(n,\R) je ortogonální grupa SO(n) a maximální kompaktní podgrupa SL(n,\C) je unitární grupa SU(n). Fundamentální grupa SL(n,\C) je triviální, fundamentální grupa SL(n,\R) je izomorfní \Z pro n=2 a \Z_2 pro n>2.

Grupa SL(2,\C) je izomorfní dvojitému nakrytí Lorentzovy grupy SO(3,1).

Pro konečné těleso F\simeq GF(p^k) jsou konečné i grupy SL(n,F). Odfaktorováním centra Z dostáváme Chevalleyho speciální lineární grupy

A_n(p^k)=SL(n+1,F)/Z

které jsou jednoduché kromě A_1(2) a A_1(3).