Jordanova normální forma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jordanova normální forma je v lineární algebře zvláštní tvar matice, skládající se z Jordanových bloků (nazývaných též Jordanovy buňky[1]) na diagonále (blokově diagonální matice). Každá matice se dá vyjádřit jako Jordanova matice vůči nějaké bázi.

Tvar[editovat | editovat zdroj]

Jordanova matice vypadá takto: J = \begin{bmatrix}
J\left(\lambda_1\right)\ & \;     & \; \\
\;  & \ddots & \; \\ 
\;  & \;     & J\left(\lambda_N\right)\end{bmatrix} kde blok J(\lambda_k) je Jordanův blok, tj. je ve tvaru J\left(\lambda_k\right) = 
\begin{bmatrix}
\lambda_k & 1            & \;     & \;  \\
\;        & \lambda_k    & \ddots & \;  \\
\;        & \;           & \ddots & 1   \\
\;        & \;           & \;     & \lambda_k       
\end{bmatrix}.

Jakákoli diagonální matice řádu N je Jordanovou formou, mající N Jordanových bloků velikosti 1x1.

Například tato Jordanova matice

J = 
\begin{bmatrix}
5 & 1 &  &  &  &  \\
 & 5 &  &  &  &  \\
 &  & 8 &  &  &  \\
 &  &  & 8 & 1 &  \\
 &  &  &  & 8 & 1 \\
 &  &  &  &  & 8       
\end{bmatrix}

se skládá ze tří Jordanových bloků velikosti 2x2, 1x1 a 3x3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Zřejmě, vlastní číslo 5 v předchozím príkladu má algebraickou násobnost 2 odpovídá mu však pouze jediný vlastní vektor, jeho geometrická násobnost je tedy 1. Vlastní číslo 8 má algebraickou násobnost 4 a odpovídají mu dva vlastní vektory, jeho geometrická násobnost je tedy 2. Výše uvedená matice má pouze 3 lineárně nezávislé vlastní vektory.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá matice A \in \C^{n \times n} je podobná matici s J jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha : Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 115-118.