Rovnoběžnostěn

Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol, jehož podstavou je rovnoběžník. Mezi rovnoběžnostěny patří např. kvádr, krychle nebo klenec.

Povrch [editovat]

Povrch rovnoběžnostěnu je tvořen součtem obsahů šesti rovnoběžníků, z nichž každé dva protilehlé jsou shodné. Užitím vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku v trojrozměrném prostoru dostáváme

$P = 2 \Bigg[ \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2} + \Big((\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\Big)^{1/2} + \Big((\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\Big)^{1/2} \Bigg]$

kde $\mathbf{a},\,\mathbf{b},\,\mathbf{c}$ jsou tři různoběžné stranové vektory, " $\times$ " značí vektorový součin dvou vektorů a " $\,\cdot\,$ " značí skalární součin dvou vektorů.

Zobecněním vektorového součinu do $n$ -rozměrného prostoru (jedná se o součin $(n-1)$ lineárně nezávislých vektorů délky $n$ , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimy, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat $(n-1)$ -rozměrný nadpovrch libovoného $n$ -rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Objem [editovat]

Objem rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu (tří různoběžných) stranových vektorů

$V = \left| ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) \cdot \mathbf{c} \right| = \left| ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) \cdot \mathbf{a} \right| = \left| ( \mathbf{c} \times \mathbf{a} ) \cdot \mathbf{b} \right|.$

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D,E,F,G,H$ rovnoběžnostěnu zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. $A=(x_A,y_A,z_A)$ , $B=(x_B,y_B,z_B)$ atd., lze objem rovnoběžnostěnu vyjádřit po složkách. Je roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných čtyř vrcholů neležících v jedné rovině takto

$V=\left|\det\left(\begin{array}{ccc}x_D-x_A & x_B-x_A & x_E-x_A \\ y_D-y_A & y_B-y_A & y_E-y_A \\ z_D-z_A & z_B-z_A & z_E-z_A \end{array}\right)\right|.$