Rovnoběžník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Rovnoběžník

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Rovnoběžník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly, jejichž součet je 2\pi (360°). Z rovnoběžnosti protilehlých stran plyne, že velikost protilehlých stran je stejná, tzn.

a=|AB|=|CD|=c, \qquad d=|AD|=|BC|=b.

Z toho plyne, že také velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, tzn.

\alpha=\angle DAB = \angle BCD=\gamma,\qquad \beta= \angle ABC = \angle CDA=\delta.

Protože \alpha+\beta+\gamma+\delta=2(\alpha+\beta)=2\pi, platí

\alpha = \pi - \beta.

Obecně má rovnoběžník různou velikost přilehlých stran, tj. a\neq b, a úhly různé od pravých úhlů, tj. \alpha\neq\beta. Pokud jsou přilehlé strany stejně velké, tj. a=b=c=d, nazýváme takový rovnoběžník kosočtvercem. Pokud jsou úhly pravé, tj. \alpha=\beta=\gamma=\delta=\pi/2, nazýváme takový rovnoběžník obdélníkem. Rovnoběžník, který je kosočtvercem a obdélníkem zároveň nazýváme čtvercem.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček jsou

e = |AC| = \sqrt{ a^2+d^2+2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a + h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,,
f = |BD| = \sqrt{ a^2+d^2-2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a - h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,.

Obsah[editovat | editovat zdroj]

Obsah rovnoběžníku je roven

S = a h_a = b h_b = a b \sin\alpha,

kde a=|AB| a b=|AD| jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a h_a je výška ke straně AB, obdobně h_b je výška ke straně AD, \alpha je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou vrcholy A,B,C,D zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

S=\left|\det\left(\begin{array}{cc}x_B-x_A & x_D-x_A \\ y_B-y_A & y_D-y_A\end{array}\right)\right|=|(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)|.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0), pak tedy

S=|x_By_D-x_Dy_B|.

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného n-rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v n-rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou vrcholy A,B,C,D zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B), atd., a zavedeme-li stranové vektory

\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,z_D-z_A),

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru \mathbf{a}\times\mathbf{b}, kde "\times" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

S=\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|_2 = \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2}

kde "\,\cdot\," značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy z, tj.

\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0),

pak

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Big(0,0,(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)\Big),

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0,0), pak

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(y_Bz_D-y_Dz_B,x_Dz_B-x_Bz_D,x_By_D-x_Dy_B)

v obecném případě, respektive

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(0,0,x_By_D-x_Dy_B)

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy z.

Zobecněním vektorového součinu do n-rozměrného prostoru (jedná se o součin (n-1) lineárně nezávislých vektorů délky n, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimy, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovoného (n-1)-rozměrného nadrovnoběžníku v n-rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném n-rozměrném prostoru

\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n),

pak jeho obsah je dán vztahem

S=\sqrt{\|\mathbf{a}\|_2^2\|\mathbf{b}\|_2^2-\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle^2}=\Big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\Big)^{1/2},

kde "\langle\,,\,\rangle", resp. "\,\cdot\," značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0,\ldots,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0,\ldots,0),

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Související články[editovat | editovat zdroj]