Rovnoběžník

Rovnoběžník

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Vlastnosti

Rovnoběžník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly, jejichž součet je $2\pi$ (360°). Z rovnoběžnosti protilehlých stran plyne, že velikost protilehlých stran je stejná, tzn.

$a=|AB|=|CD|=c, \qquad d=|AD|=|BC|=b.$

Z toho plyne, že také velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, tzn.

$\alpha=\angle DAB = \angle BCD=\gamma,\qquad \beta= \angle ABC = \angle CDA=\delta.$

Protože $\alpha+\beta+\gamma+\delta=2(\alpha+\beta)=2\pi$, platí

$\alpha = \pi - \beta.$

Obecně má rovnoběžník různou velikost přilehlých stran, tj. $a\neq b$, a úhly různé od pravých úhlů, tj. $\alpha\neq\beta$. Pokud jsou přilehlé strany stejně velké, tj. $a=b=c=d$, nazýváme takový rovnoběžník kosočtvercem. Pokud jsou úhly pravé, tj. $\alpha=\beta=\gamma=\delta=\pi/2$, nazýváme takový rovnoběžník obdélníkem. Rovnoběžník, který je kosočtvercem a obdélníkem zároveň nazýváme čtvercem.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček jsou

$e = |AC| = \sqrt{ a^2+d^2+2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a + h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,,$

$f = |BD| = \sqrt{ a^2+d^2-2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a - h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,.$

Obsah

Obsah rovnoběžníku je roven

$S = a h_a = b h_b = a b \sin\alpha$,

kde $a=|AB|$ a $b=|AD|$ jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a $h_a$ je výška ke straně $AB$, obdobně $h_b$ je výška ke straně $AD$, $\alpha$ je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D$ zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

$S=\left|\det\left(\begin{array}{cc}x_B-x_A & x_D-x_A \\ y_B-y_A & y_D-y_A\end{array}\right)\right|=|(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)|.$

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol $A$ s počátkem souřadného systému, tj. $A=(0,0)$, pak tedy

$S=|x_By_D-x_Dy_B|.$

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného $n$-rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v $n$-rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D$ zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. $A=(x_A,y_A,z_A)$, $B=(x_B,y_B,z_B)$, atd., a zavedeme-li stranové vektory

$\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,z_D-z_A),$

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$, kde "$\times$" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

$S=\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|_2 = \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2}$

kde "$\,\cdot\,$" značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy $z$, tj.

$\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0),$

pak

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Big(0,0,(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)\Big),$

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol $A$ s počátkem souřadného systému, tj. $A=(0,0,0)$, pak

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(y_Bz_D-y_Dz_B,x_Dz_B-x_Bz_D,x_By_D-x_Dy_B)$

v obecném případě, respektive

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(0,0,x_By_D-x_Dy_B)$

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy $z$.

Zobecněním vektorového součinu do $n$-rozměrného prostoru (jedná se o součin $(n-1)$ lineárně nezávislých vektorů délky $n$, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimy, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovoného $(n-1)$-rozměrného nadrovnoběžníku v $n$-rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném $n$-rozměrném prostoru

$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n),$

pak jeho obsah je dán vztahem

$S=\sqrt{\|\mathbf{a}\|_2^2\|\mathbf{b}\|_2^2-\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle^2}=\Big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\Big)^{1/2},$

kde "$\langle\,,\,\rangle$", resp. "$\,\cdot\,$" značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

$\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0,\ldots,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0,\ldots,0),$

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Související články

• Geometrický útvar
• Čtyřúhelník
• Rovnoběžnostěn