Algebra (struktura)

Algebra jako matematická struktura je vektorový prostor A nad tělesem F (anebo obecněji modul nad okruhem), na kterém je dána další operace násobení, které je lineární, t.j.

$\mathbf{a}\cdot(\alpha\mathbf{b}+\beta\mathbf{c})=\alpha\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\beta\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$

$(\alpha\mathbf{b}+\beta\mathbf{c})\cdot\mathbf{a}=\alpha\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}+\beta\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}$ pro $\alpha, \beta\in F$.

Typy algeber

• Algebra s jednotkou – algebra, ve které existuje jednotkový prvek vzhledem k násobení.
• Asociativní algebra – násobení je asociativní.
• Komutativní algebra – násobení je komutativní.
• Lieova algebra – násobení je antisymetrické a splňuje Jacobiho identitu
• Jordanovy algebry – komutativní algebra splňující $(xy)(xx) = x(y(xx))$ pro každé x,y (Jordanova identita)
• Alternující algebra – algebra, pro kterou je funkce $x(yz)-(xy)z$ (asociátor) totálně antisymetrický.
• Podílová algebra – algebra, ve které má každý nenulový prvek inverzi vzhledem k násobení.
• Normovaná algebra – je dána norma || taková, že $|xy|=|x||y|$

Příklady

Čtvercové matice řádu n spolu se sčítáním, násobením a násobením prvky tělesa tvoří asociativní algebru s jednotkou, tzv. maticovou algebru.

Oktoniony tvoří normovanou podílovou alternující algebru nad tělesem reálných čísel.

Vlastnosti

Každá podílová algebra nad libovolným tělesem může mít dimenzi jenom 1,2,4 nebo 8. Jediné normované podílové algebry nad tělesem reálných čísel jsou reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony.