Algebra (struktura)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Algebra jako matematická struktura je vektorový prostor A nad tělesem F (anebo obecněji modul nad okruhem), na kterém je dána další operace násobení, které je lineární, t.j.

\mathbf{a}\cdot(\alpha\mathbf{b}+\beta\mathbf{c})=\alpha\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\beta\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}
(\alpha\mathbf{b}+\beta\mathbf{c})\cdot\mathbf{a}=\alpha\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}+\beta\mathbf{c}\cdot\mathbf{a} pro \alpha, \beta\in F.

Typy algeber[editovat | editovat zdroj]

  • Algebra s jednotkou – algebra, ve které existuje jednotkový prvek vzhledem k násobení.
  • Asociativní algebra – násobení je asociativní.
  • Komutativní algebra – násobení je komutativní.
  • Lieova algebra – násobení je antisymetrické a splňuje Jacobiho identitu
  • Jordanovy algebry – komutativní algebra splňující (xy)(xx) = x(y(xx)) pro každé x,y (Jordanova identita)
  • Alternující algebra – algebra, pro kterou je funkce x(yz)-(xy)z (asociátor) totálně antisymetrický.
  • Podílová algebra – algebra, ve které má každý nenulový prvek inverzi vzhledem k násobení.
  • Normovaná algebra – je dána norma || taková, že |xy|=|x||y|

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Čtvercové matice řádu n spolu se sčítáním, násobením a násobením prvky tělesa tvoří asociativní algebru s jednotkou, tzv. maticovou algebru.

Oktoniony tvoří normovanou podílovou alternující algebru nad tělesem reálných čísel.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá podílová algebra nad libovolným tělesem může mít dimenzi jenom 1,2,4 nebo 8. Jediné normované podílové algebry nad tělesem reálných čísel jsou reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony.