Kvadratická forma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak pokud týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť \xi:Y \times Y \rightarrow T je bilineární forma na vektorovém prostoru Y nad tělesem T. Pak funkce

f: Y \rightarrow T, f(\textbf{h})=\xi(\textbf{h},\textbf{h})

se nazývá kvadratická forma na Y.

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

f(t\textbf{h})=t^2f(\textbf{h})

pro všechna t \isin \mathbb{R} a \textbf{h} \isin Y.

Nejběžnější kvadratická forma je

f(\textbf{h})=\textbf{h} \cdot  \textbf{h}=h_1^2+h_2^2+...+h_n^2=||\textbf{h}||^2

Druhy kvadratických forem[editovat | editovat zdroj]

Kvadratická forma f: Y \rightarrow \mathbb{R} na euklidovském prostoru Y se nazývá

1) pozitivně definitní, jestliže

f(\textbf{h})\geq \alpha ||\textbf{h}||^2

2) negativně definitní, jestliže

f(\textbf{h})\leq -\alpha ||\textbf{h}||^2

3) indefinitní, jestliže existují \textbf{h},\textbf{j} \isin Y taková, že

f(\textbf{h})>0 a f(\textbf{j})<0

pozn: \alpha \in \R

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha : vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139. (česky) 
  • BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha : Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197. (česky) 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha : Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337. (česky) 

Související články[editovat | editovat zdroj]