Eratosthenovo síto

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení všech prvočísel menších než zadaná horní mez. Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech 276194 př. n. l.

Algoritmus funguje „prosíváním“ seznamu čísel – na počátku seznam obsahuje všechna čísla v daném rozsahu (2, 3, 4, …, zadané maximum). Poté se opakovaně první číslo ze seznamu vyjme, toto číslo je prvočíslem; ze seznamu se pak odstraní všechny násobky tohoto čísla (což jsou čísla složená). Tak se pokračuje do doby, než je ze seznamu odstraněno poslední číslo (nebo ve chvíli, kdy je jako prvočíslo označeno číslo vyšší než odmocnina nejvyššího čísla – v takové chvíli už všechna zbývající čísla jsou nutně prvočísly). Časová složitost tohoto algoritmu je O(N*log(log N)), kde N je horní mez rozsahu.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pro nalezení prvočísel mezi prvními 20 čísly:

Krok 1: Seznam obsahuje všechna čísla v rozsahu 2–20:

Seznam: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Krok 2: Odebereme první číslo ze seznamu (2) a označíme ho jako prvočíslo:

Známá prvočísla: 2
Seznam: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Krok 3: Odebereme ze seznamu všechny násobky právě odebraného prvočísla (4, 6, 8, 10, …):

Známá prvočísla: 2
Seznam: 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Krok 4: Pokračujeme opět krokem 2, dokud zbývají nějaká čísla (první číslo v seznamu a také prvočíslo je tentokrát 3):

Známá prvočísla: 2 3
Seznam: 5 7 11 13 17 19

Po dalším opakování:

Známá prvočísla: 2 3 5
Seznam: 7 11 13 17 19

5 je vyšší než √19, takže zbývají už jen prvočísla. (Kdyby ještě existovalo v seznamu číslo X, které je součinem dvou celých čísel A·B, musel by např. činitel A být menší než (nebo roven) √X a druhý činitel B pak větší než (nebo roven) √X. Všechny násobky celých čísel menších než √20 jsou již ale ze seznamu odebrány, včetně X. Tím pádem se již v seznamu nenachází žádné číslo, které lze rozložit na součin.)

Výsledný seznam prvočísel v rozsahu 2–20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Příklad implementace[editovat | editovat zdroj]

Následující kód je v jazyce Python.

def eratosthenovo_sito(do):
  do += 1
  sito = [True] * do
 
  for i in range(2, do):
    if sito[i]:
      for j in range(i*2, do, i):
        sito[j]=False
 
  prvocisla=[]
  for i in range(2, do):
    if sito[i]:
      prvocisla.append(i)
  return prvocisla

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]