Základní věta aritmetiky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.

Přesná formulace[editovat | editovat zdroj]

Pro každé přirozené číslo  x \,\! existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0:  n, m_1, m_2, \ldots , m_n \,\! a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel:  p_1 < p_2 < \ldots < p_n \,\! takové, že
p_1^{m_1}.p_2^{m_2}.p_3^{m_3}. \ldots .p_n^{m_n} = x \,\!

Nástin důkazu[editovat | editovat zdroj]

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

  • pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí - prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem:  p = p^1 \,\!
  • pokud platí pro všechna  i \leq n \,\! , pak  n + 1 \,\! je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel - spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů získám určitě minimálně jeden rozklad
  • zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tj. stejný, ať zvolím součin jakýmkoliv způsobem - dokazuje se sporem (pokud pro  n + 1 \,\! existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

Související články[editovat | editovat zdroj]