Základní věta aritmetiky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.

[editovat] Přesná formulace

Pro každé přirozené číslo $x \,\!$ existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0: $n, m_1, m_2, \ldots , m_n \,\!$ a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: $p_1 < p_2 < \ldots < p_n \,\!$ takové, že
$p_1^{m_1}.p_2^{m_2}.p_3^{m_3}. \ldots .p_n^{m_n} = x \,\!$

[editovat] Nástin důkazu

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí - prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem: $p = p^1 \,\!$
pokud platí pro všechna $i \leq n \,\!$ , pak $n + 1 \,\!$ je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel - spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů získám určitě minimálně jeden rozklad
zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tj. stejný, ať zvolím součin jakýmkoliv způsobem - dokazuje se sporem (pokud pro $n + 1 \,\!$ existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)