Hranice množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Množina (světle modře) a její hranice (tmavě modře)

Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.

Formální definice v topologii[editovat | editovat zdroj]

Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum):

  • Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ Mo.
  • Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M).
  • Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak:

  • \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}\,\!
  • \partial\emptyset=\emptyset
  • \partial\Q=\R
  • \partial\Q\cap [0,1]=[0,1]

Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěrem[pozn 1].

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
  • James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Budeme postupovat podle první definice. Pro hustou množinu platí, že její uzávěr je celé univerzum. A neboť vnitřkem je prázdná množina, tak hranicí je celé univerzum.
  2. Stačí si uvědomit, že ani jeden z hraničních bodů tohoto intervalu neleží v množině racionálních čísel.

Související články[editovat | editovat zdroj]