Absolutně spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkci f(x) označíme jako absolutně spojitou na intervalu \langle a,b\rangle, jestliže k libovolnému \varepsilon>0 existuje takové \delta>0, že pro každý systém intervalů \langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle,\, \dots, \langle a_n,b_n\rangle, pro který je a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b, a \sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < \delta platí \sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon.

Prostor všech absolutních funkcí na intervalu \langle a,b\rangle značíme AC(a,b)

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ekvivalentní definice[editovat | editovat zdroj]

f je absolutně spojitá na \langle a,b\rangle právě tehdy, když

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
  • Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
  • Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
  • Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: f(x)=\int_{a}^{x} f'(t) \mathrm{dt} \mbox{ } \forall x\in \langle a,b\rangle
  • pokud f \in L^1(a,b) a F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{dt}, pak F je absolutně spojitá na \langle a,b\rangle

Související články[editovat | editovat zdroj]