Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkci $f(x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $\langle a,b\rangle$, jestliže k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje takové $\delta>0$, že pro každý systém intervalů $\langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, ..., \langle a_n,b_n\rangle$, pro který je $a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b$, a $\sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < \delta$ platí $\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon$.

Prostor všech absolutních funkcí na intervalu $\langle a,b\rangle$ značíme $AC(a,b)$

Příklady

• Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
• $f(x)=x$ je absolutně spojitá.

Ekvivalentní definice

$f$ je absolutně spojitá na $\langle a,b\rangle$ právě tehdy, když

• $f \in L^1(a,b)$ je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
• $\exists g \in L^1(a,b)$ taková, že $f(x)=\int_a^x g(t)\mathrm{dt} \mbox{ } \forall x\in ( a,b)$
• $\exists h \in L^1(a,b)$ taková, že $|f(d)-f(c)|\leq\int_c^d h(t)\mathrm{dt} \mbox{ } \forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle$

Vlastnosti

• Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
• Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
• Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
• Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: $f(x)=\int_{a}^{x} f'(t) \mathrm{dt} \mbox{ } \forall x\in \langle a,b\rangle$
• pokud $f \in L^1(a,b)$ a $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{dt}$, pak $F$ je absolutně spojitá na $\langle a,b\rangle$

Související články

• Lipschitzovsky spojité zobrazení
• Spojitá funkce