Průběh funkce

Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

• definiční obor a obor hodnot
• určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost
• průsečíky grafu se souřadnými osami
  • Průsečík grafu funkce $f(x)$ s osou $y$ získáme dosazením hodnoty $x=0$ do funkce $f$, tzn. získáme hodnotu $y_0 = f(0)$.
  • Průsečík grafu funkce $f(x)$ s osou $x$ získáme řešením rovnice $f(x) = 0$.
• intervaly spojitosti funkce
• body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti
• určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení
  • intervalů monotonie
  • stacionárních bodů a lokálních extrémů
• vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme
  • intervaly konvexnosti a konkávnosti
  • inflexní body
• rovnice asymptot
• funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body informaci o průběhu funkce mezi těmito body)

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Příklad

Vyšetřujme průběh funkce $y = x\; \ln x$.

Zatímco $x$ je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro $x > 0$. Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude $(0,+\infty)$.

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro $x > 0$, není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

$\lim_{x \rightarrow 0+} x \; \ln x = \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^2}} = 0$

Funkci lze tedy definovat také v bodě $y(0) = 0$, tzn. rozšířit definiční obor na $\langle 0, +\infty)$.

Průsečík s osou $y$ získáme dosazením $x = 0$, tedy $y = 0$.

Průsečík s osou $x$ získáme z rovnice $x \; \ln x = 0$, která má řešení $x_1 = 0, x_2 = 1$.

První a druhá derivace funkce jsou

$y^\prime = \ln x + 1$

$y^{\prime\prime} = \frac{1}{x}$

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí $y^\prime > 0$, což lze po dosazení zapsat jako $\ln x > -1$. Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro $x > \frac{1}{e}$.

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí $y^\prime < 0$, tzn. $\ln x < -1$. Řešením získáme, že funkce je klesající pro $x < \frac{1}{e}$.

V bodě $x_3 = \frac{1}{e}$ je $y^\prime(x_3) = 0$. Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť $y^{\prime\prime}(\frac{1}{e}) = e > 0$. Hodnota funkce v tomto bodě je $y(\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$.

Vzhledem k tomu, že $y^{\prime\prime} > 0$ na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť $k = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln x = +\infty$.

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

Odkazy

Související články

• Stacionární bod
• Extrém funkce
• Konvexnost a konkávnost funkce
• Monotónní funkce

Externí odkazy

• Vykreslování grafů funkcí (i jejich derivací a integrálů)