Eulerův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!

Význam vzorce[editovat | editovat zdroj]

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

f(x) = e^{x}

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:

e^{x} = \frac{x^0}{0!} +  \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...

Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:

e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} +  \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...

Dosaďme za exponent ix:

e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...

Nyní mírně přerovnejme sčítance

e^{ix} = \left( \frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...\right) + \left( \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...\right)

Ze druhé části vytkněme i:

e^{ix} = \left( \frac{{(ix)}^0}{0!} +  \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... \right) + i\left( \frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...\right)

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:

e^{ix} = \left(\frac{x^0}{0!} -  \frac{x^2}{2!} + ... \right) + i\left(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...\right)

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.