Eulerův vzorec

Tento článek pojednává o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

$e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!$

Význam vzorce

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

$f(x) = e^{x}$

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:

$e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...$

Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:

$e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...$

Dosaďme za exponent ix:

$e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...$

Nyní mírně přerovnejme sčítance

$e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)$

Ze druhé části vytkněme i:

$e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)$

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:

$e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)$

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.