Eulerův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí. Jeho speciálním případem je Eulerova rovnost.

$e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!$

[editovat] Fyzikální odvození

Uvažujme komplexní funkci $e i φ$ reálné proměné $φ$ . Protože lze vyjádřit exponenciálu ve tvaru nekonečné mocninné řady s reálnými koeficienty (reálnost koeficientů plyne z toho, že exponenciála reálného čísla je opět číslo reálné), je zřejmé, že když provedeme komplexní sdružení argumentu exponenciály, dostaneme stejný výsledek, jako kdybychom komplexně združili výsledek samotný.

Označíme-li:

$e^{i \phi}=\operatorname{c}(\phi)+i \operatorname{s}(\phi)$

Kde $\operatorname{c}$ a $\operatorname{s}$ jsou reálné funkce reálné proměnné, pak tedy platí:

$e^{-i \phi}=\operatorname{c}(\phi)-i \operatorname{s}(\phi)$

Vynásobením obou stran rovností dostáváme, že:

$1=\operatorname{c}(\phi)^2 + \operatorname{s}(\phi)^2$

Vidíme tedy, že hodnoty funkce $e i φ$ leží v Gaussově rovině na kružnici o poloměru 1; na jednotkové kružnici se středem v počátku.

Nyní si můžeme představovat, že proměnná $φ$ má význam času a samotná vyšetřovaná funkce představuje určitý pohyb v Gaussově rovině. Rychlost tohoto pohybu získáme derivováním podle času:

$\bold{v}=i e^{i \phi}= -\operatorname{s}(\phi) + i \operatorname{c}(\phi)$

Z toho jsou patrné dvě věci. Jednak je rychlost kolmá na polohový vektor, protože skalární součin

$\bold{r} \cdot \bold{v} = (\operatorname{c}(\phi), \operatorname{s}(\phi)) \cdot (-\operatorname{s}(\phi), \operatorname{c}(\phi))=0$ .

Dále je okamžitě patrné (analogickým postupem, jako v případě polohy), že velikost rychlosti je opět jednotková. Jedná se tedy pravděpodobně o rovnoměrný pohyb po kružnici.

Nakonec ještě určeme směr rychlosti (jestli jde o pohyb po směru hodinových ručiček, nebo proti směru). K tomuto účelu vypočteme vektorový součin vektoru polohy a rychlosti (moment hybnosti, pokud má těleso jednotkovou hmotnost). Dostáváme:

$\bold{r} \times \bold{v} = (\operatorname{c}(\phi), \operatorname{s}(\phi),0) \times (-\operatorname{s}(\phi), \operatorname{c}(\phi),0) =(0,0,1)$

Dle pravidla pravé ruky tedy vidíme, že se jedná o pohyb proti směru hodinový ručiček pro jakýkoliv čas (proměnnou $φ$ ). V čase nula platí $e 0 = 1$ .

Podařilo sa mám tedy odvodit, že modelová situace představuje rovnoměrný pohyb po jednotkové kružnici jednotkovou rychlostí proti směru hodinových ručiček. Speciálně tedy vidíme, že studovaná funkce je funkce periodická s periodou 2 pi. Čas $φ$ tedy zároveň představuje úhel polohového vektoru vůči kladné poloose x.

Pomocí jednotkové kružnice a se ovšem standardně geometricky definují i goniometrické funkce sínus a kosínus. Pokud průvodič bodu na jednotkové kružnici svírá s kladnou poloosou x úhel $φ$ , pak $cosφ$ představuje souřadnici x tohoto bodu a $sinφ$ souřadnici y.

Srovnáním této definice a předchozího výsledku vidíme, že platí:

$\operatorname{c}(\phi)=\cos \phi$