Moivreova věta

Moivreova věta říká, že pro libovolné komplexní číslo x a libovolné celé číslo n platí:

$(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,$

kde i je imaginární jednotka. Toto platí i pro všechna reálná čísla, ta jsou podmnožinou čísel komplexních.

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních koeficientů je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zⁿ = 1.

De Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce e^ix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

$z=A(\cos x+i\sin x),\,$

pak všech jeho $n \,\!$ odmocnin $n \,\!$-tého stupně lze zapsat jako

$z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos \frac{x+2k\pi}{n} + i\sin \frac{x+2k\pi}{n} ) : 0 \leq k \leq n-1 \}$

Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0, použijeme indukci. Pro n=1 indukční předpoklad zcela evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n₀ + 1

$(\cos x+i\sin x)^{n_0+1}\,$

$= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{n_0}\,$

$= (\cos(n_0x)+i\sin(n_0x))(\cos x+i\sin x)\,$ (z indukčního předpokladu)

$= \cos(n_0x)\cos x - \sin(n_0x)\sin x + i(\cos(n_0x)\sin x + \sin(n_0x)\cos x)\,$

Zde použijeme goniometrické Součtové vzorce: sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) a cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y).

$= \cos(n_0+1)x + i\sin(n_0+1)x\,$

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n₀ + 1, jestliže platí pro n₀, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože $\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i\cdot0 = 1$ a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

$(\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,$

$=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}\,$ (shora)

$=\cos(mx) - i\sin(mx)\,$

$=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,$

Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.

Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trošku obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jedním z (více) řešení výrazu (cos z + i⋅sin z)^w.

Související články

• Komplexní číslo
• Komplexní rovina
• Goniometrické funkce
• Eulerův vzorec