Argument hyperbolického kosinu

Argument hyperbolického kosinu je hyperbolometrická funkce. Značí se $\operatorname {argcosh} x$ , někdy také $\operatorname {arccosh} x$ nebo $\operatorname {ach} x$ , případně $\operatorname {cosh} ^{-1}x$ .

Definice

Argument hyperbolického kosinu je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosinu definovanému na intervalu $\langle 0,\infty )$ . Platí $\operatorname {argcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ .

Vlastnosti

Definiční obor funkce

\langle 1,\infty )

Obor hodnot funkce

\langle 0,\infty )

Argument hyperbolického kosinu není sudá ani lichá funkce.

Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosinu je $\cosh(x)$ na intervalu $\langle 0;\,\infty )$ .

Derivace:

{\frac {d}{dx}}\operatorname {argcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}

Neurčitý integrál:

\int \operatorname {argcosh} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {argcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C

, kde

C

je integrační konstanta.

Zdola omezená, rostoucí funkce
Neperiodická

Vzorce

$\operatorname {argcosh} \,(\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arccos x$
$\ln \,x=\operatorname {argcosh} \,{\frac {x^{2}+1}{2x}}$
$|\operatorname {argcosh} \,x+\operatorname {argcosh} \,y|=\operatorname {argcosh} \,\left(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}\right),\,x\geq 1,y\geq 1$
$\operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argsinh} \,{\sqrt {x^{2}-1}},x\geq 1$
$\operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argtanh} \,{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},x\geq 1$
$\operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argcoth} \,{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},x>1$
$\operatorname {argcosh} \,x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)$

Užití

Výpočet $x$ -ové souřadnice na řetězovce, známe-li $y$ -ovou hodnotu (stavebnictví, architektura).
Řešení kubické rovnice $x^{3}+px+q=0$ pro případ, že $p<0$ a diskriminant $4p^{3}+27q^{2}>0$ (rovnice má v tomto případě právě jedno reálné řešení). Pak $x=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]$ .

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-204-0607-7.