Sudé a liché funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice se některé funkce označují jako sudé, některé jako liché funkce. Takové funkce vykazují jisté druhy symetrie. Tato symetrie se nazývá parita funkce. Existuje však mnoho funkcí, které nejsou ani liché, ani sudé.

Sudé funkce[editovat | editovat zdroj]

Sudá funkce : y = x2

Funkce f(x) je sudá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí

f(x) = f(−x)

To právě znamená, že graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.

Mezi sudé funkce patří všechny mocninné funkce se sudým mocnitelem (např. x2, x−4 atp.), dále také například cos x, cosh x atd.

Liché funkce[editovat | editovat zdroj]

Lichá funkce : y = x3

Funkce f(x) je lichá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí

f(−x) = −f(x)

To právě znamená, že graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic.

Mezi liché funkce patří všechny mocninné funkce s lichým mocnitelem (např. x, x3, x−5 atp.), dále také např. sin x, sinh x, arctg atd.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce, která je zároveň sudá i lichá, je jedině nulová funkce f(x) = 0 (s definičním oborem symetrickým kolem nuly).
  • Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce.
  • Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce.
  • Součet liché a sudé funkce obecně není ani lichá ani sudá funkce.
  • Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce, součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
  • Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
  • Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.

Řady[editovat | editovat zdroj]

  • Taylorova řada sudé funkce obsahuje pouze sudé mocniny, Taylorova řada liché funkce obsahuje pouze liché mocniny (odtud název).
  • Fourierova řada periodické sudé funkce obsahuje pouze kosinové členy, Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinové členy.

Algebraické vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Lineární kombinace sudých funkcí je sudá funkce, sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Obdobně je lineární kombinace lichých funkcí lichá funkce a liché funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Vektorový prostor všech reálných funkcí je direktní součet vektorových prostorů sudých a lichých funkcí, libovolnou funkci lze tedy jednoznačně rozložit na součet sudé a liché funkce:
f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}

Např. přirozená exponenciála e^x se takto rozkládá na svou sudou část - hyperbolický kosinus a lichou část - hyperbolický sinus:

e^x = \cosh x + \sinh x
  • Množina sudých funkcí tvoří nad reálnými čísly algebru, množina lichých funkcí nikoliv.

Související články[editovat | editovat zdroj]