Fourierova řada

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s předmětem článku dostatečně seznámeni, pomozte prosím vylepšit tento článek doplněním věrohodných zdrojů, které dokládají uvedená tvrzení.

Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.

Fourierovy řady jsou pojmenovány po francouzském lékaři a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu jakéhokoliv periodického průběhu pomocí goniometrických funkcí sinus a kosinus. Pomocí této řady lze rozložit i značně komplikované funkce, které by jinak byl problém zobrazit.

Trigonometrická řada

Uvažujme funkci $f(x)$ na intervalu $-\pi\leq x\leq\pi$, která je na tomto intervalu kvadraticky integrabilní, tzn. splňuje podmínku

$\int_{-\pi}^{\pi} {|f(x)|}^2 \mathrm{d}x<+\infty$,

pak tuto funkci rozvineme v tzv. trigonometrickou řadu, která obsahuje goniometrické funkce

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)$,

kde koeficienty určíme ze vztahů

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x$

$a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos kx\,\mathrm{d}x$

$b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin kx\,\mathrm{d}x$

pro $k=1,2,...$.

Vztahy pro určení koeficientů trigonometrického rozvoje se nazývají Eulerovy-Fourierovy vzorce.

Pokud je možné funkci $f(x)$ rozložit ve stejnoměrně konvergentní trigonometrickou řadu, pak říkáme, že se jedná o Fourierovu řadu (nebo Fourierův rozvoj) funkce $f(x)$. Koeficienty $a_0, a_1, a_2, ..., b_1, b_2, ...$ jsou tzv. Fourierovy koeficienty rozvoje funkce $f(x)$.

Substitucí $\xi=\frac{\pi x}{L}$ získáme Fourierovu řadu na intervalu $-L \leq x\leq L$, tzn.

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos \frac{\pi kx}{L} + b_k \sin \frac{\pi kx}{L})$

Fourierovy koeficienty pak získáme ze vztahů

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{\pi nx}{L} \mathrm{d}x \; \mbox{ pro } n=0,1,2, ...$,

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{\pi nx}{L} \mathrm{d}x \; \mbox{ pro } n=1,2,...$.

Kvadraticky integrabilní funkce se na intervalu J rovná své Fourierově řadě (resp. jejímu součtu), je-li na tomto intervalu spojitá a po částech hladká - v takovém případě je Fourierova řada lokálně stejnoměrně konvergentní (stejnoměrně konvergentní pro $I = \mathbb{R}$). Pro bodovou konvergenci řady není spojitost funkce nutná, obecně se pro každé reálné x součet řady rovná výrazu:

$\mathcal{F} f(x) = \frac{\lim_{t \to x^+} f(t) + \lim_{t \to x^-} f(t)}{2}$.

Vlastnosti

Ukázka aproximace signálu součtem pěti harmonických funkcí.

• Je-li $f(x)$ sudou funkcí, tzn. $f(x)=f(-x)$, pak podle posledního vztahu platí $b_n=0$ pro všechna $n$. V rozvoji sudé funkce na intervalu $-L \leq x \leq L$ se tedy vyskytují pouze funkce $\cos \frac{\pi nx}{L}$.

• Podobně pro liché funkce, tzn. $f(x)=-f(-x)$, dostaneme pro všechna $n$, že $a_n=0$. Rozvoj liché funkce tedy obsahuje pouze $\sin\frac{\pi nx}{L}$.

• V praxi se funkce f(x) aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen přes několik prvních členů, přičemž se obecně s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Amplitudově-fázový zápis

V předchozí části byl signál rozložen pomocí sinového spektra a kosinového spektra. V praxi se však častěji používá rozklad signálu na amplitudové spektrum a fázové spektrum. Vyjádření signálu pomocí amplitudy a fáze lépe popisuje fyzikální a technické jevy související s kmitáním a interferencí.

$\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (A_k \cos(k\omega x - \varphi_n))$

Kde

$\displaystyle A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ a současně

$\varphi_n=\begin{cases} \arctan{\frac {b_n} {a_n}}, & \mbox{když }a_n \ge 0 \\ \arctan{\frac {b_n} {a_n}}+\pi, & \mbox{když }a_n < 0 \end{cases}$

případně

$\displaystyle \varphi_n=2\arctan{\frac {b_n} {A_n+a_n}}$

$A_n$ a $\varphi_n$ tedy odpovídají polárním souřadnicím bodu určeného souřadnicemi $(a_n,b_n)$ - určují jeho vzdálenost (tj. amplitudu) a úhel (tj. fázi).

Komplexní tvar

Použijeme-li Eulerova vzorce, lze Fourierovu řadu funkce $f(x)$ na intervalu $-L \leq x \leq L$ zapsat ve tvaru

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi x}{L}}$

Koeficienty $c_n$ lze vyjádřit prostřednictvím koeficientů $a_n, b_n$ jako

$c_0 = \frac{a_0}{2}$

$c_n = \frac{1}{2}(a_n - \mathrm{i}b_n)$

$c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + \mathrm{i}b_n) = c_n^*$

Dosadíme-li za $a_n, b_n$ lze koeficienty $c_n$ vyjádřit ve tvaru

$c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{n\pi x}{L}} f(x)\mathrm{d}x$

pro $n = 0, \pm 1, \pm 2,...$.

Jednou z výhod vyjádření Fourierovy řady v komplexním tvaru je to, že substitucí $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi x}{L}}$ je možné chápat Fourierovu řadu funkce $f(x)$ jako mocninnou řadu $f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n$.

Fourierův integrál

Uvažujme Fourierův rozvoj funkce $f(x)$ na intervalu $-\infty<x<\infty$.

Vyjdeme ze vztahů pro Fourierovu řadu na konečném intervalu $-L<x<L$. Dosadíme-li do tohoto rozvoje výrazy pro koeficienty $a_n, b_n$, dostaneme s využitím vztahů mezi goniometrickými funkcemi výraz

$f(x) = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(u) \mathrm{d}u + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(u)\cos\frac{n\pi (u-x)}{L}\mathrm{d}u$

V limitě pro $L \to \infty$ bude první člen nulový, neboť hodnotu integrálu, který konverguje a je tedy konečný, dělíme $2L \to \infty$. Můžeme tedy uvažovat pouze s druhou částí rozvoje.

Zavedeme proměnnou $z_n = \frac{n\pi}{L}$. Pro $L \to \infty$ je

$\Delta z_n = z_{n+1} - z_n = \frac{\pi}{L} \to 0$

Proměnnou $z$ lze v takovém případě považovat za spojitou. Uvedený rozvoj lze tedy pro $L \to \infty$ přepsat do tvaru

$f(x) = \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \Delta z_n \int_{-L}^L f(u)\cos\left[z_n(u-x)\right]\mathrm{d}u$

Pro $L \to \infty$ lze pomocí definice určitého integrálu přejít od sumace k integraci, tzn.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u$

Úpravou integrandu dostaneme tzv. Fourierův integrál

$f(x) = \int_0^\infty \left[a(z)\cos zx + b(z)\sin zx\right] \mathrm{d}z$,

kde

$a(z) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos zu \mathrm{d}u$

$b(z) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(u)\sin zu \mathrm{d}u$

Fourierův integrál nahrazuje pro spojitý parametr $z$ Fourierova řadu.

Integrál $\frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u$ je sudou funkcí, což umožňuje psát

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right] \mathrm{d}u$

Vzhledem k tomu, že integrál $\int_{-\infty}^\infty f(u)\sin\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u$ je lichou funkcí, bude platit

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\sin\left[z(u-x)\right] \mathrm{d}u = 0$

Z předchozích vztahů pak použitím Eulerova vzorce dostaneme

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i}z(u-x)} \mathrm{d}u$

Upravou tohoto vztahu dostaneme jedno z nejpoužívanějších vyjádření delta funkce.

$f(x) = \int_{-\infty}^\infty f(u) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}z(u-x)} \mathrm{d}z \mathrm{d}u$

Funkce $f$ lze ovšem také vyjádřit takto:

$f(x)= \int_{-\infty}^\infty f(u) \delta(u-x) \mathrm{d}u$

Porovnáním obou předpisů vidíme, že platí:

$\delta(u-x)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}z(u-x)} \mathrm{d}z$

Poslední integrál není dobře definován v klasickém slova smyslu, rovnost je nutno chápat ve smyslu distribucí, tedy až po aplikování na nějakou testovací funkci.

Související články

• Trigonometrie
• Goniometrická funkce
• Rozvoj funkce
• Fourierova transformace
• Dirichletovy podmínky