Mocninná funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Grafy mocninných funkcí x2, x3 a −x−2

Mocninná funkce je elementární matematická funkce, jejíž hodnoty jsou přímo úměrné určité mocnině proměnné, tedy funkce tvaru

f\colon x \mapsto a x^r \qquad a,r \in \mathbb{R},

kde a a r jsou konstanty a x je proměnná. Konstanta r se nazývá exponent.

Mocninná funkce, jejíž exponent r je přirozené číslo nebo nula, je polynomiální funkce s nejvýše jedním nenulovým koeficientem.

Definiční obor[editovat | editovat zdroj]

Definiční obor závisí na exponentu r, konkrétně na jeho celočíselnosti (tj. zda r \in \mathbb{Z}) a znaménku podle následující tabulky.

r > 0 r < 0 r = 0
r \in \mathbb{Z} \mathbb{R} \mathbb{R}\setminus\{0\} \mathbb{R}\setminus\{0\} nebo \mathbb{R}[pozn. 1]
r \notin \mathbb{Z} \mathbb{R}^+_0 \mathbb{R}^+
  1. Obecně není výraz 00 definován. V případě mocninné funkce je však smysluplné jej dodefinovat vztahem 00 = 1, díky čemuž při r = 0 se mocninná funkce zredukuje na konstantu f(x) = a s definičním oborem \mathbb{R}.

Obor hodnot[editovat | editovat zdroj]

Obor hodnot závisí na konstantě a a exponentu r.

r > 0 r < 0 r = 0
r sudé
nebo \notin \mathbb{Z}
r liché r sudé
nebo \notin \mathbb{Z}
r liché
a > 0 \mathbb{R}^+_0 \mathbb{R} \mathbb{R}^+ \mathbb{R}\setminus\{0\} \{a\}
a < 0 \mathbb{R}^-_0 \mathbb{R} \mathbb{R}^- \mathbb{R}\setminus\{0\}
a = 0 \{0\}