Hyperbolometrická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hyperbolometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým. Jedná se o funkce argument hyperbolického sinu (argsinh x), argument hyperbolického kosinu (argcosh x), argument hyperbolického tangens (argtanh x) a argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Argument hyperbolického sinu (argsinh x)[editovat | editovat zdroj]

Funkce y=\arg\sinh x

Definiční obor[editovat | editovat zdroj]

 x \in \mathbb{R}

Obor hodnot[editovat | editovat zdroj]

 y \in \mathbb{R}

Parita[editovat | editovat zdroj]

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita[editovat | editovat zdroj]

\arg\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})

Argument hyperbolického kosinu (argcosh x)[editovat | editovat zdroj]

Funkce y=\arg\cosh x

Definiční obor[editovat | editovat zdroj]

1 \le x <\infty

Obor hodnot[editovat | editovat zdroj]

0 \le y <\infty

Parita[editovat | editovat zdroj]

Ani lichá ani sudá

Identita[editovat | editovat zdroj]

\arg\cosh x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})

Argument hyperbolického tangens (argtanh x)[editovat | editovat zdroj]

Funkce y=\arg\tanh x

Definiční obor[editovat | editovat zdroj]

-1 < x <1 resp. |x|<1

Obor hodnot[editovat | editovat zdroj]

 y \in \mathbb{R}

Parita[editovat | editovat zdroj]

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita[editovat | editovat zdroj]

\arg\tanh x=\frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}

Argument hyperbolického kotangens (argcoth x)[editovat | editovat zdroj]

Funkce y=\arg\coth x

Definiční obor[editovat | editovat zdroj]

|x|>1

Obor hodnot[editovat | editovat zdroj]

y=\mathbb{R}-\{0\}

Parita[editovat | editovat zdroj]

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita[editovat | editovat zdroj]

\arg\coth x=\frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}

Identity[editovat | editovat zdroj]

\arg\sinh x =\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ \ \ (x \ge 0)
=-\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ (x < 0)
=\arg\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

\arg\cosh x=\arg\sinh \sqrt{x^2-1}=\arg\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\ \ \ \ \ (x \ge 0)

\arg\tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (x \ge 0)

\arg\tanh x =\arg\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ \ \ (|x|<1)
=\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (0\le x < 1)
=-\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (-1< x \le 0)
=\arg\coth \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (-1< x < 1,x \not= 0)
\arg\coth x =\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)
=-\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x < -1)
=\arg\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x > 1)
=\arg\tanh \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (|x|>1)

\arg\sinh x\pm \arg\sinh y=\arg\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})

\arg\cosh x\pm \arg\cosh y=\arg\cosh (xy \pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})\ \ \ \ \ (x\ge1,y\ge1)

\arg\tanh x\pm \arg\tanh y=\arg\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)

Derivace[editovat | editovat zdroj]

(\arg\sinh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

(\arg\cosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)

(\arg\tanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|<1)

(\arg\coth x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|>1)

Integrál[editovat | editovat zdroj]

\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}{\rm d}x=\arg\sinh x+C

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}{\rm d}x=\arg\cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)

\int \frac{1}{1-x^2}{\rm d}x =\arg\tanh x+C\ \ \ \ \ (|x| < 1)
=\arg\coth x+C\ \ \ \ \ (|x| > 1)