Hyperbolometrická funkce

Hyperbolometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým. Jedná se o funkce argument hyperbolického sinu (argsinh x), argument hyperbolického kosinu (argcosh x), argument hyperbolického tangens (argtanh x) a argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Argument hyperbolického sinu (argsinh x)

Funkce $y=\arg\sinh x$

Definiční obor

$x \in \mathbb{R}$

Obor hodnot

$y \in \mathbb{R}$

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

$\arg\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$

Argument hyperbolického kosinu (argcosh x)

Funkce $y=\arg\cosh x$

Definiční obor

$1 \le x <\infty$

Obor hodnot

$0 \le y <\infty$

Parita

Ani lichá ani sudá

Identita

$\arg\cosh x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

Argument hyperbolického tangens (argtanh x)

Funkce $y=\arg\tanh x$

Definiční obor

$-1 < x <1$ resp. $|x|<1$

Obor hodnot

$y \in \mathbb{R}$

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

$\arg\tanh x=\frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}$

Argument hyperbolického kotangens (argcoth x)

Funkce $y=\arg\coth x$

Definiční obor

$|x|>1$

Obor hodnot

$y=\mathbb{R}-\{0\}$

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

$\arg\coth x=\frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}$

Identity

$\arg\sinh x$	$=\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ \ \ (x \ge 0)$
	$=-\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ (x < 0)$
	$=\arg\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\arg\cosh x=\arg\sinh \sqrt{x^2-1}=\arg\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\ \ \ \ \ (x \ge 0)$

$\arg\tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (x \ge 0)$

$\arg\tanh x$	$=\arg\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ \ \ (|x|<1)$
	$=\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (0\le x < 1)$
	$=-\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (-1< x \le 0)$
	$=\arg\coth \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (-1< x < 1,x \not= 0)$

$\arg\coth x$	$=\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)$
	$=-\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x < -1)$
	$=\arg\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x > 1)$
	$=\arg\tanh \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (|x|>1)$

$\arg\sinh x\pm \arg\sinh y=\arg\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})$

$\arg\cosh x\pm \arg\cosh y=\arg\cosh (xy \pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})\ \ \ \ \ (x\ge1,y\ge1)$

$\arg\tanh x\pm \arg\tanh y=\arg\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)$

Derivace

$(\arg\sinh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$(\arg\cosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)$

$(\arg\tanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|<1)$

$(\arg\coth x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|>1)$

Integrál

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}{\rm d}x=\arg\sinh x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}{\rm d}x=\arg\cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)$

$\int \frac{1}{1-x^2}{\rm d}x$	$=\arg\tanh x+C\ \ \ \ \ (|x| < 1)$
	$=\arg\coth x+C\ \ \ \ \ (|x| > 1)$