Hyperbolické funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Přímka vedená z počátku protíná hyperbolu \scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1 v bodě \scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a), kde \scriptstyle a je dvojnásobek plochy vymezené přímkou a osou \scriptstyle x. Pro body hyperboly pod osou \scriptstyle x je plocha brána jako záporná.

Jako hyperbolické funkce se v matematice označuje skupina několika funkcí analogicky podobných k funkcím goniometrickým. Základními funkcemi jsou hyperbolický sinus (sinh) a kosinus (cosh), ze kterých je odvozen hyperbolický tangens (tanh), kotangens (coth), sekans (sech) a kosekans (csh). Inverzní funkce k funkcím hyperbolickým se označují jako hyperbolometrické funkce.

Stejně jako sinus a kosinus definují body jednotkové kružnice, hyperbolický sinus a kosinus definují body pravé části rovnoosé hyperboly. Parametrem těchto funkcí je tzv. hyperbolický úhel.

Hyperbolické funkce se často objevují v řešení některých diferenciálních rovnic, jako je např. definice řetězovky.

Definice hyperbolických funkcí[editovat | editovat zdroj]

sinh, cosh a tanh
csch, sech a coth

Hyperbolické funkce jsou definovány následovně:

\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}
\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}
\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}
\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}

kde e je Eulerovo číslo.

Hyperbolické funkce mohou být také definovány pomocí imaginárního úhlu:

  • Hyperbolický sinus:
\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolický kosinus:
\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolický tangens:
\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolický kotangens:
\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolický sekans:
\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!
  • Hyperbolický kosekans:
\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

kde i je imaginární číslo definované jako i2 = −1.

Tyto komplexní tvary jsou odvozeny z Eulerova vzorce.

Užitečné vztahy[editovat | editovat zdroj]

Sudost

\cosh(-x) =  \cosh x\,\!
\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!

Lichost

\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
\coth(-x) = -\coth x\,\!
\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!

Hyperbolický sinus a kosinus splňují podmínku:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

a podobně:

\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x
\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x

Derivace[editovat | editovat zdroj]

 \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,
 \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,
 \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

Standardní integrály[editovat | editovat zdroj]

Pro kompletní seznam integrálů přejděte na Seznam integrálů hyperbolických funkcí.

\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

kde C je integrační konstanta.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hyperbolic function na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]