Hyperbolický tangens

Graf reálné části hyperbolického tangens

Hyperbolický tangens je hyperbolická funkce. Pro označení této funkce se používá zkratka $tgh$ , popř. $tanh$ .

[editovat] Definice

Funkce $y=\mathrm{tgh}\,x\,\!$ je definována vztahem

$\mathrm{tgh}\,x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})}=\frac{(e^{2x} - 1)}{(e^{2x} + 1)}$ .

Hyperbolický tangens lze definovat pomocí tangens jako

$\mathrm{tgh}\, x = -i \mathrm{tg}\, (i x)$ .

Funkce je lichá
Funkce je omezená
Funkce není periodická
Definiční obor: $\mathbb{R}$ (reálná čísla)
Obor hodnot: $( - 1,1)$
Funkce je na celém definičním oboru rostoucí
Limity: $\lim_{x\to\pm\infty} \mathrm{tgh}\,x = \pm 1$
Derivace: ${(\mathrm{tgh}\,x)}^\prime = 1-\mathrm{tgh}\,^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$