Gaussův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf ƒ(x) = ex2 a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná  \scriptstyle\sqrt{\pi}

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce ex2 přes celou reálnou osu, tedy

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Integrál Gaussovy funkce označíme Y.

Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme y.

Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

Y^2 = \int_{-\infty}^\infty  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi (x,y). Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic (\varphi,r), do kterých funkci přepíšeme.

Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r

Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou per partes a jeho hodnota je \pi. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

Y = \sqrt{\pi}

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Пуассона интеграл, БСЭ

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika