Hlavní hodnota integrálu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hlavní hodnota integrálu (Cauchy principal value) je metoda počítání hodnot některých integrálů, které nelze standardně definovat. V závislosti na typu singularity vyskytující se v integrálu je hlavní hodnota definována jako konečné číslo:

  • \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right]
kde b je bod, ve kterém má funkce f následující vlastnosti:
\int_a^b f(x)\,dx=\pm\infty
pro libovolné a < b a
\int_b^c f(x)\,dx=\mp\infty
pro libovolné c > b (jedno znaménko je "+" a druhé "−").
nebo
  • \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x)\,dx
kde
\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx=\pm\infty
a
\int_0^\infty f(x)\,dx=\mp\infty
(opět je jedno znaménko "+" a druhé "−").

V některých případech je nutné vypořádat se najednou se singularitami v bodu b a zároveň v nekonečnu. To se dělá většinou

\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{b-\frac{1}{\varepsilon}}^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^{b+\frac{1}{\varepsilon}}f(x)\,dx.

Související články[editovat | editovat zdroj]