Základní věta algebry

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynom s komplexními koeficienty stupně n \geq 1 má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.

Přesné znění[editovat | editovat zdroj]

Nechť P(x)=a_n\cdot x^n + \ldots + a_0 je polynom s koeficienty a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C},\; a_n\neq 0 stupně \,n\geq 1. Pak existuje číslo \,a\in\mathbb{C}, že \,P(a)=0.

Důkazy[editovat | editovat zdroj]

Ačkoli je základní věta algebry čistě algebraickým tvrzením, není dosud znám žádný čistě algebraický důkaz. Všechny známé důkazy této věty využívají více či méně metod matematické analýzy.

Komplexně analytický důkaz[editovat | editovat zdroj]

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy:

(Věta Liouville) Je-li f holomorfní omezená funkce na \mathbb{C}, pak f je konstantní.

Dále dokazujme sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem g(x)=\frac{1}{P(x)} je definována na celém \mathbb{C}. Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že |P(x)|\geq 1 pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje \,\varepsilon>0, že \,|P(x)|>\varepsilon pro x z K. Potom |g(x)|<\max(1,\frac{1}{\varepsilon}) pro každé x\in\mathbb{C}. Tedy g(x) je omezená na \mathbb{C} a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1
  • A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5
  • B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8
  • C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13
  • E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9
  • R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0
  • D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]