Pythagorejská trojice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a,b,c takových, že

a^2+b^2=c^2.

Název pythagorejská trojice je odvozen od Pythagorovy věty, která uvádí podobný vztah pro strany pravoúhlého trujúhelníka. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4 a 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice.

Generátory pythagorejských čísel[editovat | editovat zdroj]

Generátor pythagorejských trojic čísel je trojice matematických funkcí pro a, b, c =f()\,\!. Dosazením proměnné, nebo proměnných do funkcí se vypočtou - vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a,b,c\,\!.

Nejvhodnější jsou takové funkce, které by zahrnovaly všechna možná řešení a byla přitom vyloučena ta řešení, která jsou násobky jiných řešení.

Násobnými řešeními jsou takové pythagorejské trojice, která jsou celočíselným násobkem jiné pythagorejské trojice.

Klasické řešení[editovat | editovat zdroj]

Klasický generátor pythagorejských trojic čísel je funkce a, b, c = f(x, y)\,\! kdy x, y\in\mathbb{N} a x>y\,\!. Existuje ve tvaru:

a=2xy\,\!
b=x^2-y^2\,\!
c=x^2+y^2\,\!

Protože tento generátor používá dvou proměnných, je velmi variabilní, a tak dává velké množství řešení, ale mnohá řešení jsou násobná.

Jiná řešení[editovat | editovat zdroj]

Mohou existovat i jiné generátory pythagorejských trojic čísel, které pak mají specifické vlastnosti.

Zde uvedené genegátory například dokáží vygenerovat všechny možné kombinace pro definované podmínky, násobné kombinace jsou ale generátorem vynechány.

Za podmínky, že c-b=1\,\!, pak existuje generátor

a=2n+1\,\!
b=2n^2+2n\,\!
c=2n^2+2n+1\,\!

a za podmínky c-b=2\,\!, potom funguje generátor

a=4n\,\!
b=4n^2-1\,\!
c=4n^2+1\,\!