Kosinová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha
b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta
c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak \cos \gamma = 0 a tudíž c^2 = a^2 + b^2.

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

  • Je-li α ostrý a bod P patou výšky vc, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
a^2 = v_c^2 + (c-u)^2.
Protože dále platí, že u = b \cos \alpha a v_c = b \sin \alpha, lze psát
a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2
a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha
a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha
a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha
  • Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
 \ a^2 = b^2 + c^2.
Protože je α = π/2, je \cos \alpha = 0, a pak
a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha
  • Je-li α tupý a bod P patou výšky vc, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
a^2 = v_c^2 + (c+u)^2.
Protože dále platí, že u = b \cos (\pi - \alpha) a v_c = b \sin (\pi - \alpha) a dále \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha a \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha lze psát
a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2.
Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha.

Související články[editovat | editovat zdroj]