Monotónní funkce

Příklad monotonní funkce

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě):

Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna $x$ v tomto okolí platí:

$x > a \Rightarrow f(x) > f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) < f(a)$.

Obdobně je funkce klesající, pokud

$x > a \Rightarrow f(x) < f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) > f(a)$,

nerostoucí pro

$x > a \Rightarrow f(x) \le f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \ge f(a)$,

a neklesající pro

$x > a \Rightarrow f(x) \ge f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \le f(a)$.

Monotonie globální (na intervalu):

Funkce je na intervalu $I$ rostoucí, jestliže pro všechna $x < y$ z tohoto intervalu platí:

$f(x) < f(y)$.

Obdobně je funkce na $I$ klesající, pokud

$f(x) > f(y)$,

nerostoucí pokud

$f(x) \ge f(y)$,

a neklesající pokud

$f(x) \le f(y)$.

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu $\langle x_3, x_5\rangle$, klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu $\langle x_2, x_3 \rangle$.

Monotónní funkce

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

• konstantní funkce, tzn. pro každé $x \neq y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x) = f(y)$
• rostoucí funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x) < f(y)$
• klesající funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x) > f(y)$
• neklesající funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x) \leq f(y)$
• nerostoucí funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f(x)$ platí $f(x) \geq f(y)$

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření, zda je funkce $f(x)$ v určitém bodě rostoucí nebo klesající se může využít první derivace $f^\prime(x)$ funkce, přičemž platí

• funkce $f(x)$ je rostoucí, je-li $f^\prime(x) > 0$
• funkce $f(x)$ je klesající, je-li $f^\prime(x) < 0$

Dále platí, pokud je funkce diferencovatelná v bodě $x$

• funkce $f(x)$ je rostoucí, právě když $f^\prime(x) > 0$
• funkce $f(x)$ je klesající, právě když $f^\prime(x) < 0$
• pokud je funkce $f(x)$ nerostoucí, potom $f^\prime(x) \leq 0$
• pokud je funkce $f(x)$ neklesající, potom $f^\prime(x) \geq 0$

Terminologie

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

• ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
• rostoucí pokud je neklesající dle...,
• ryze klesající pokud je klesající dle...,
• klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

Související články

• Prostá funkce
• Průběh funkce