Mnohoúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Mnohoúhelník (též n-úhelník) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Přesnější definice je tato: Mnohoúhelník je omezená část roviny ohraničená uzavřenou lomenou čárou.

Základní pojmy[editovat | editovat zdroj]

Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník

Znázornění a zápis[editovat | editovat zdroj]

Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly.

Mnohouhelnik.jpg

Druhy mnohoúhelníků[editovat | editovat zdroj]

Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy), se mnohoúhelníky dělí na:

  • pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné,
  • konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je větší než 180°),
  • pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, příp. 270°`) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Obvod mnohoúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran:
o = a + b + c + ..., kde a, b, c, ... jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka.
  • Obsah obecného mnohoúhelníka S se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy S_1, S_2, ... se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou:
S = S_1 + S_2 + ...
S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|, kde (x_{i},y_{i}) jsou souřadnice vrcholů mnohoúhelníka, x_{n+1} a y_{n+1} jsou x_{1} a y_{1}
  • Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je roven
\pi (n-2) \;\mathrm{rad}
  • Počet úhlopříček obecného n-úhelníku určíme ze vztahu
\frac{1}{2}n(n-3)
  • Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak říkáme, že je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice).
  • Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na  n - 2 trojúhelníků.

Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Pravidelný mnohoúhelník.
  • Velikost vnitřního úhlu pravidelného n-úhelníku má hodnotu (v radiánech)
\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi
  • Velikost středového, popř. vnějšího úhlu je rovna
\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}
\rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}
  • Obsah pravidelného n-úhelníku lze určit jako
S_n = \frac{n a_n \rho_n}{2} = n \rho_n^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{n} = \frac{n\cdot a_n^2}{4\cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{n}} = n r_n^2 \operatorname{sin}\frac{\pi}{n} \operatorname{cos}\frac{\pi}{n} = \frac{1}{2}\ n r_n^2 \operatorname{sin}\frac{2\pi}{n}

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu