Pravidelný mnohoúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Set of convex regular p-gons

Triangle.Equilateral.svgKvadrato.svgPentagon.svgHexagon.svg
Heptagon.svgOctagon.svgEnneagon.svgDecagon.svg
Pravidelné mnohoúhelníky

Počet stran a vrcholů n
Grupa symetrie Dihedrální (Dn)
Obsah
(kde s=délka strany)
S = \tfrac14ns^2 \cot \frac{\pi}{n}
Vnitřní úhel \left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180^\circ
Součet vnitřních úhlů \left(n-2\right)\times 180^\circ

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníka leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.

Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.

Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Galerie[editovat | editovat zdroj]

Úhly[editovat | editovat zdroj]

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

(1-\frac{2}{n})\times 180 (neboli (n-2)\times \frac{180}{n} ) stupňů
neboli \frac{(n-2)\pi}{n} radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký \frac{360}{n} stupňů.

Úhlopříčky[editovat | editovat zdroj]

Pro n > 2 je počet úhlopříček \frac{n (n-3)}{2}.

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry[editovat | editovat zdroj]

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

r=\frac{s} {2 \sin{ \frac{180}{n} }}

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

\varrho =\frac{s} {2 \tan{ \frac{180}{n} }}

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah[editovat | editovat zdroj]

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané \varrho je:[1]

S= \frac{1}{4}ns^2\text{cotg}{\tfrac{\pi}{n}} = \frac{1}{2}nr^2\sin{\tfrac{2\pi}{n}} = \frac{1}{2}n s \varrho

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Strany Název Přesná plocha Přibližná plocha
n pravidelný n-úhelník \tfrac{n}{4}\text{cotg}{\tfrac{\pi}{n}}  
3 rovnostranný trojúhelník \frac{\sqrt{3}}{4} 0,433012702
4 čtverec 1
5 pravidelný pětiúhelník \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1,720477401
6 pravidelný šestiúhelník \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2,598076211
7 pravidelný sedmiúhelník   3,633912444
8 pravidelný osmiúhelník 2 + 2 \sqrt{2} 4,828427125
9 pravidelný devítiúhelník   6,181824194
10 pravidelný desetiúhelník \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7,694208843
11 pravidelný jedenáctiúhelník   9,365639907
12 pravidelný dvanáctiúhelník 6+3\sqrt{3} 11,19615242
13 pravidelný třináctiúhelník   13,18576833
14 pravidelný čtrnáctiúhelník   15,33450194
15 pravidelný patnáctiúhelník \frac{15}{4} \sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}} 17,64236291
16 pravidelný šestnáctiúhelník 4(1+\sqrt{2}+\sqrt{4+2\sqrt{2}}) 20,10935797
17 pravidelný sedmnáctiúhelník   22,73549190
18 pravidelný osmnáctiúhelník   25,52076819
19 pravidelný devatenáctiúhelník   28,46518943
20 pravidelný dvacetiúhelník 5(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}) 31,56875757

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.[2]

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.

  1. Mathworlds [online]. . Dostupné online. (anglicky) 
  2. Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]