Pravidelný mnohoúhelník

Set of convex regular p-gons
Pravidelné mnohoúhelníky
Počet stran a vrcholů	n
Grupa symetrie	Dihedrální (Dn)
Obsah (kde s=délka strany)	$S = \tfrac14ns^2 \cot \frac{\pi}{n}$
Vnitřní úhel	$\left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180^\circ$
Součet vnitřních úhlů	$\left(n-2\right)\times 180^\circ$

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníka leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.

Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.

Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Galerie

• 

  Rovnostranný trojúhelník

• 

  Čtverec

• 

  Pětiúhelník

• 

  Šestiúhelník

• 

  Sedmiúhelník

• 

  Osmiúhelník

• 

  Devítiúhelník

• 

  Desetiúhelník

• 

  Jedenáctiúhelník

• 

  Dvanáctiúhelník

• 

  Třináctiúhelník

• 

  Čtrnáctiúhelník

Úhly

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

$(1-\frac{2}{n})\times 180$ (neboli $(n-2)\times \frac{180}{n}$ ) stupňů

neboli $\frac{(n-2)\pi}{n}$ radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký $\frac{360}{n}$ stupňů.

Úhlopříčky

Pro $n > 2$ je počet úhlopříček $\frac{n (n-3)}{2}$.

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

$r=\frac{s} {2 \sin{ \frac{180}{n} }}$

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

$\varrho =\frac{s} {2 \text{tg}{ \frac{\pi}{n} }}$

Pozn.: Délka poloměru kružnice opsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané $\varrho$ je:

$S= \frac{1}{4}ns^2\text{cotg}{\tfrac{\pi}{n}} = \frac{1}{2}nr^2\sin{\tfrac{2\pi}{n}} = \frac{1}{2}n s \varrho$

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Strany	Název	Přesná plocha	Přibližná plocha
n	pravidelný n-úhelník	$\tfrac{n}{4}\text{cotg}{\tfrac{\pi}{n}}$
3	rovnostranný trojúhelník	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	0,433012702
4	čtverec	1
5	pravidelný pětiúhelník	$\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}$	1,720477401
6	pravidelný šestiúhelník	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	2,598076211
7	pravidelný sedmiúhelník		3,633912444
8	pravidelný osmiúhelník	$2 + 2 \sqrt{2}$	4,828427125
9	pravidelný devítiúhelník		6,181824194
10	pravidelný desetiúhelník	$\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}$	7,694208843
11	pravidelný jedenáctiúhelník		9,365639907
12	pravidelný dvanáctiúhelník	$6+3\sqrt{3}$	11,19615242
13	pravidelný třináctiúhelník		13,18576833
14	pravidelný čtrnáctiúhelník		15,33450194
15	pravidelný patnáctiúhelník	$\frac{15}{4} \sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}}$	17,64236291
16	pravidelný šestnáctiúhelník	$4(1+\sqrt{2}+\sqrt{4+2\sqrt{2}})$	20,10935797
17	pravidelný sedmnáctiúhelník		22,73549190
18	pravidelný osmnáctiúhelník		25,52076819
19	pravidelný devatenáctiúhelník		28,46518943
20	pravidelný dvacetiúhelník	$5(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}})$	31,56875757

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

• Pentagram - {5/2}
• Hexagram - {6/2}
• Heptagram - {7/2} a {7/3}
• Octagram - {8/2} a {8/3}
• Enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4}
• Dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4}
• Hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
• Dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• (anglicky)  Pravidelný mnohoúhelník v encyklopedii MathWorld